9. Двойственные задачи линейного программирования.

В 1975 г. наш соотечественник Л.В. Канторович (1912–1986) был удостоен Нобелевской премии по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за разработку теории оптимального использования ресурсов. Канторович ввел в математическую и экономическую науки понятие «линейное программирование» (1939) и разработал единый подход к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования. Им были введены «двойственные оценки» ресурсов (Канторович называл их объективно обусловленными), показывающие степень ценности этих ресурсов для общества. Двойственные оценки получили разнообразное истолкование в зависимости от рассматриваемого круга задач в работах самого Канторовича и его последователей, как в нашей стране, так и за рубежом. Если у западных ученых наиболее популярны так называемые теневые цены на ресурсы, то Канторовича более интересовала основанная на двойственных оценках теория дифференциальной ренты.

С задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной или сопряженной, по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к исходной задаче линейного программирования, состоящей в нахождении м а к с и м а л ь н о г о значения функции

(11)

Задача, состоящая в нахождении м и н и м а л ь н о г о значения функции

, (12)

называется двойственной по отношению к задаче (11). Переменные двойственной задачи в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или «цены» ресурсов. Рассмотренная пара взаимно двойственных задач может быть экономически интерпретирована, например, так.

Прямая задача: сколько и какой продукции надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции , объемах имеющихся ресурсов и нормах расходов максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных , и минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию.

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой задачи. Задачи (11)–(12) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой.

Правила составления двойственной задачи:

1) если целевая функция и с х о д н о й задачи формулируется на максимум, то целевая функция д в о й с т в е н н о й задачи — на минимум (и наоборот), при этом в двойственной задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум — вид ;

2) матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица А^Т в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

3) число переменных в д в о й с т в е н н о й задаче равно числу функциональных ограничений и с х о д н о й задачи, а число ограничений в системе д в о й с т в е н н о й задачи — числу переменных в и с х о д н о й;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной;

5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения. При этом ограничению, записанному в виде н е р а в е н с т в а , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является р а в е н с т в о м, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Многие ЗЛП первоначально составляются в виде исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

Различают несимметричные и симметричные двойственные задачи. В несимметричных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде р а в е н с т в, а система ограничений двойственной — в виде н е р а в е н с т в, причем в двойственной задаче переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Сформулируем двойственную задачу к задаче (1)

(13)

Решим симплекс методом двойственную задачу. Запишем каноническом виде

(14)

I шаг – основные переменные , неосновные-- .

Выразим основные переменные через неосновные

Решение . Проверим его оптимальность. Целевая функция

Целевую функцию нельзя уменьшить. Мы нашли оптимальное решение.

Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения линейных целевых функций равны ( оптимальное решение исходной задачи, а - двойственной задачи)

Если линейная функция одной задачи не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Экономический смысл основной теоремы двойственности. План производства и набор цен (оценок ресурсов) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции найденная при «внешних» заранее известных ценах равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым из решения задачи) ценам . Для всех других планов прибыль от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы.

Вторая теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.