8. Симплексный метод.

Если условия задачи линейного программирования непротиворечивы, то область ее допустимых решений образует выпуклый многогранник в n-мерном пространстве. При этом оптимальное решение, если оно существует, обязательно достигается в некоторой вершине многогранника (возможно, и более чем в одной). Таким образом, чтобы найти решение задачи линейного программирования, достаточно перебрать лишь планы, соответствующие вершинам многогранника допустимых решений. Симплексный метод состоит в том, что производится проверка, достигнут ли в данной вершине максимум целевой функции, если план не оптимальный, то производится переход к такой соседней вершине многогранника, которая обеспечивает большее (или, в крайнем случае, равное предыдущему) значение целевой функции. Повторное применение указанной процедуры приводит, в конце концов, к вершине, соответствующей оптимальному плану. Количество шагов (переходов) от исходной вершины до точки оптимума обычно представляет собой величину одного порядка с числом уравнений (ограничений) решаемой задачи. Для использования симплексного метода задача должна быть приведена к каноническому виду. Для реализации метода необходимо освоить три основных элемента:

1. способ определения какого-либо допустимого первоначального базисного решения;

2. правила перехода к лучшему (нехудшему) решению;

3. критерий проверки оптимальности найденного решения.

Алгоритм симплексного метода рассмотрим на примере:

(1)

Переходим к системе

(2)

Для нахождения допустимого первоначального базисного решения разобьём все переменные на основные и неосновные переменные. Определитель при переменных отличен от нуля. Эти переменные берем в качестве основных переменных на первом этапе задачи. Если выбранные переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены то решение будет допустимым (все переменные положительны).

I шаг – основные переменные , неосновные-- .

Выразим основные переменные через неосновные

(3)

Положим неосновные переменные . Получим вектор , который является допустимым решением. Проверим его оптимальность . Ясно, что если увеличить неосновные переменные, то целевая функция возрастет. Можно перейти к другому базису, в котором либо , либо будет основной переменной, а значит больше нуля. Выберем т.к. коэффициент при этой переменной целевой функции больше. Система (3) накладывает ограничение на рост , поскольку все переменные должны быть неотрицательными ( - неосновная переменная), получим

Таким образом, возможное наибольшее значение переменной равно 5. При этом значении переменная .

II – шаг

Основные переменные , неосновные . Выразим, новые основные переменные через неосновные

(4)

Второе базисное решение является допустимым. Проверим его оптимальность. Целевая функция .

.

Найдем ограничения на .

(5)

Тогда переменная переходит в неосновные.

III шаг Основные переменные , не основные . Выразим, новые основные переменные через не основные

(6)

Получим вектор допустимых решений .

Проверим его оптимальность. Целевая функция . (7)

Третье решение тоже не является оптимальным т.к. положительный знак при . Найдем ограничения на .

(8)

Положим . Тогда переходит в неосновные.

IV шаг Основные переменные , не основные . Выразим, новые основные переменные через не основные переменные

(9)

Решение . Проверим его оптимальность. Целевая функция . (10)

.

Поскольку в (10) положительных коэффициентов при неосновных переменных нет, то мы нашли оптимальное решение.

Сформулируем критерий оптимальности. Если при отыскании максимума линейной функции в выражении этой функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.