5. Теоремы о выпуклых множествах.

Определение.

Пусть – произвольные точки евклидова пространства . Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма , где – произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1:

Определение.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Определение.

Точка Х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек данного множества.

Теорема. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое.

Определение. Выпуклое замкнутое множество точек пространства, имеющее конечное число угловых точек называется выпуклым многогранником – многоугольником, если оно ограниченное, и выпуклой многогранной областью, если оно неограниченное.

Теорема Выпуклый n-мерный многогранник является линейной комбинацией своих угловых точек.

6. Теоремы о допустимых решениях канонической задачи.

Множество всех допустимых решений канонической задачи (7) линейного программирования является выпуклым многогранником в n-мерном пространстве (если оно не пусто).

Теорема. Если каноническая задача имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если целевая функция принимает максимальное значение более чем в одной точке, то она принимает его в любой точке являющейся линейной комбинацией этих точек.

Теорема. Каждому допустимому базисному решению соответствует угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует базисное решение.

Отсюда следует, что оптимальное решение совпадает с одним из базисных решений.

7. Геометрический метод решения задач линейного программирования.

Найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции

(8)

при условиях

(9)

(10)

Каждое из неравенств (9), (10) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , . В том случае, если система неравенств (9), (10) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью допустимых решений задачи (8) – (10) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Из приведенных выше теорем следует, что в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня (где h – некоторая постоянная), проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать ее в направлении вектора до тех пор, пока она не пройдет через ее последнюю общую точку с многоугольником решений. Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при движении в направлении градиента уровень линии возрастает. Поэтому координаты последней общей очки и определяют оптимальный план (решение) данной задачи.

единственное решение, рис. 2 - максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ.

Рис 3 – целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений, а на рис. 4 – случай, когда система ограничений задачи несовместна.