4. Линейное программирование. Задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии.

Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

(5)

где А матрица. Если из содержательного смысла экономической задачи следует, что должны быть целыми числами, то задача является задачей целочисленного линейного программирования. К задачам линейного программирования, например, относятся задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте) и задача на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте;

Рассмотрим задачу оптимизации с нелинейным ограничениями X, заданными системой конечного числа уравнений:

(6)

Здесь предполагается, что n< m, .

Для решения задачи (6) используется метод множителей Лагранжа. Основная идея метода заключается в переходе от задачи на условный экстремум исходной функции к задаче на безусловный экстремум. Рассмотрим некоторую специально построенную функции Лагранжа :

(7)

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть дифференцируемы в точке . Если точка локального экстремума, то существует вектор , компоненты которого не равны нулю одновременно, такой, что

(8)

При этом должны выполняться условия регулярности: градиенты должны быть линейно независимы. Это означает, что ранг матрицы , строками которой являются градиенты , должен быть равен m.

Любая точка , удовлетворяющая при некотором ненулевом векторе условиям (8), называется стационарной точкой задачи (6). Для определения характера стационарных точек используется достаточное условие оптимальности с привлечением матрицы вторых частных производных функции Лагранжа по

Достаточное условие локальной оптимальности.

Пусть дважды дифференцируемы в точке причем при некотором выполняются условия (8), т.е. стационарная точка. Тогда, если

при всех ненулевых таких, что , то - точка локального минимума (максимума) на множестве X.

Вектор , компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом (или допустимым решением) задачи линейного программирования. Допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции , называется оптимальным планом задачи и обозначается . Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с э к о н о м и ч е с к о й ситуацией, описанной в условии. Для этого нужно ответить на вопросы:

1. что является искомыми величинами задачи?

2. какова цель решения?

3. какой параметр задачи (прибыль, себестоимость, время и т.д.) служит критерием оптимальности решения?

4. в каком направлении (к максимуму или к минимуму) должно изменяться значение этого параметра для достижения наилучших результатов?

5. какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи (например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию). После ответа на все эти вопросы можно приступать к записи м а т е м а т и ч е с к о й модели.

Задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача планирования производства, задача об ассортименте).

Предположим, что предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуются m различных видов ресурсов (сырья, вспомогательных материалов, рабочего и машинного времени). Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период условных единиц. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства изделия j-го вида ( ). Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида, равна c_j. В планируемый период все показатели b_i, a_ij и c_j предполагаются постоянными. Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей. Другими словами, требуется составить о п т и м а л ь н ы й план работы предприятия , т.е. найти такие значения переменных x_i (объем выпуска продукции каждого вида), чтобы обеспечить предприятию получение максимальной прибыли от реализации всей продукции и чтобы на ее производство хватило имеющихся в распоряжении ресурсов. Получим задачу (5).

Если задача (5) состоит из равенств и неравенств, то задача (5) называется общей, если из одних равенств и l=n, то канонической (симметричной), если из одних неравенств - стандартной. Указанные выше три формы задачи линейного программирования, общая, стандартная, каноническая, эквивалентны в том смысле, что каждая из форм с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи.

1. В том случае, когда требуется найти минимум функции , можно перейти к нахождению максимума функции , поскольку .

2. Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид “ ”, можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида “ ” – в ограничение-равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной

(6)

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса. Запишем задачу (5) в каноническом виде

, (7)

Основным (базисным) решением m уравнений с n неизвестными называется решение, в котором все n- m переменных равны нулю. Всего может быть основных переменных.

Допустимые базисные решения называют еще опорными планами.

Базисное решение, в котором хотя бы одна переменная равна нулю, называется вырожденным.

Теорема. Если ранг линейной системы равен m, то произвольному набору неосновных переменных соответствует одно решение системы (7).