15. Модель оптимального распределения капитальных вложений между отраслями.

Этот пример обобщает модель (6) на случай нескольких отраслей. Рассматривается процесс распределения основных производственных фондов между отраслями в течение некоторого промежутка времени.

Пусть имеется n отраслей. Обозначим через Kj(t) величину основных фондов j -й отрасли в году t , μ_j – коэффициент ежегодного выбытия фондов в j -й отрасли, Vj(t) – величину вводимых в действие в году t основных фондов в j-й отрасли. Аналогично предыдущему примеру можно вывести уравнение баланса основных фондов для каждой отрасли:

. (12)

В результате мы получим систему дифференциальных уравнений как модель изучаемого экономического процесса. В этой системе – вектор управления,

– вектор состояния.

Должны быть известны основные фонды отраслей в начале исследуемого промежутка времени. Переменные управления и переменные состояния должны быть неотрицательны. Суммарная величина вводимых в действие основных фондов должна быть ограничена:

Критерий качества в данном случае будет иметь вид

Итак, задачу оптимального распределения капиталовложений между отраслями можно сформулировать как задачу оптимального управления для системы с критерием качества.

Дисконтирование — это приведение будущих денежных потоков к текущему периоду с учетом изменения стоимости денег с течением времени.

Приведение к моменту времени в прошлом называют дисконтированием.

16. Принцип максимума Понтрягина.

Рассмотрим задачу оптимального управления для нелинейной системы дифференциальных уравнений с функционалом Больца:

(1)

Будем считать моменты времени фиксированными, управление – кусочно-непрерывным, - скалярные функции. Будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные . Введем обозначения:

(2)

Сопряженной системой для задачи (1) будем называть систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных :

(3)

где – некоторая постоянная. Если воспользоваться введенными обозначениями (2), систему (3) можно записать в векторной форме:

Определение. Функцией Гамильтона, или гамильтонианом, для за дачи (1) будем называть функцию

где , – вспомогательные переменные. Легко подсчитать:

Используя это выражение для производных функции , запишем сопряженную систему (3) с помощью гамильтониана:

(4)

или в векторном виде

(5)

где . – вектор-градиент функции H .

Приведем без доказательства формулировку принципа максимума для рассматриваемой задачи.

Теорема 1. (Принцип максимума). Пусть – решение задачи (1). Тогда существуют числа , одновременно не равные нулю, и вектор-функция такие, что:

1) является решением сопряженной системы (4) при ;

2) в каждой точке , являющейся точкой непрерывности оптимального управления функция по переменной достигает своего максимума на множестве U при , т.е.

(6)

3) выполняются условия:

(7)

Условие (6) называют условием максимума, условия (7) – условиями трансверсальности.

Сформулированная теорема дает необходимые условия оптимальности, и одно из них – условие максимума, согласно которому функция Гамильтона достигает своего максимума на оптимальном управлении. Следует заметить, что эта задача может оказаться весьма сложной, и очень часто ее решение в явном виде найти не удается.