21.Теоремы о непрерывности монотонной функции

Если ф-ии f(x)b g(x) определены на одном и том же промежутке[a,b]и обе непрерывны в т. Хо,тогда в этой точке непрерывными будут ф-ии f(x)+-g(x),f(x)*g(x),f(x)/g(x),lim(f(x)+-g(x))=limf(x)+-limg(x)

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке.

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0

Если существует предел ,то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда , где с лежит между x0 и х.

При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как то Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен преде-лу отношения их производных, если последний суще-ствует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности

Если существует предел ,то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0

22. . Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некото-рой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функ-ции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х0

- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерыв-ной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0

Свойства непрерывных функций

Теорема Больцана-Коши

Пусть f(x) на промежутке [a,b] непрерывна и на концах промежутка принимает значение разных знаков,тогда сущ-ет С, а<c<b f(c)=0

Теорема Больцана-Коши2

Пусть ф-я оределена и непрерывна в некотором промежутке Х,если а<b

A,b-ф-я принимает неравные значения

Точки разрыва функции – это точки в которых нару-шается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конеч-ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:- А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;

- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного раз-рыва.

|A1 – A2| называется скачком функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односто-ронних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

Теорема Вейерштрасса 1

Если ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b],то она ограничена

Теорема Вейерштрасса 2

Если ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b],то она достигает в этом промежутке своей верхней и нижней границы.

23.Производная,определение и геометрический смысл. Формула для приращения функции

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Формула приращения:

дельтаU=f(x+дельтаX,y+дельтаY,z+дельта Z)-f(X,Y,Z)

у=f(x)отсюда следует дельта у=у’*дельта Х+альфа дельтаХ

24. Правила вычисления производных . Производная обратной функции.Одностороняя производная,бесконечная производная.

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

У=(U(x)=-V(x))’=U’(x)+-V’(x)

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).

(U(x)*V(x))’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x)

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

(U(x)/V(X))’=U’(x)V(x)-V’(x)U(x)/V^2(x)

Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

(CU(x))’=CU’(x)

Производная сложной функции:

(f(g(x)))’=f’(g(x))*g’(x)

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Производная обратной функции

Пусть у=f(x) - фекал от аргумента x в некотором интервале(a,b) . Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция x= F(y), где f[F(y)]=y - функция обратная данной.

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Yx’=1/X’y

Односторонняя функция- - обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного существует

то этот предел наз. правой (левой) производной функции f(x) в точке х 0 . В случае равенства этих О. п. функция имеет в точке х 0 обычную производную.

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной

Если существует конечный (или бесконечный) = , то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке