8.Методы решения нелинейных одномерных у-ий.

Рас-м ур-е f(x)=0, f( ). Пусть ф-я f(x) определена и непрерывна при всех и на [a,b] меняет знак, т.е. и ур-е имеет на (a,b) хотя бы один корень t.

Метод дихотомии. Поделим [a,b] пополам.Получаем точку , и два отрезка[a,c] и [c,b]. Если ,то корень t найден. Если нет, то из двух полученных отрезков выбираем один [ , b₁ ] такой, что , т.е. [ , b₁ ] =[a,c], если , или , b₁ ] =[c,b], если . Далее новый , b₁ ] делим пополам, получаем середину и т.д. Поэтому, если за к-е приближение этим методом к корню t ур-ния при­мем точку х_к, явл серединой полученного на к-м шаге отрезка [ , b_к ]в результате последовательного сужения данного отрезка [а, b], полагая а₁ := a, b₁ := b, то придем к неравенству . Данное нер-во, с одной стороны, позволяет утверждать, что последовательность (х_к) имеет предел — искомый корень t ур-ия; с другой стороны, явл априорной оценкой абсолютной погрешности приближенного равенства х_к , дает возможность подсчитать число шагов (итераций) метода поло­винного деления, достаточное для получения корня t с заданной точностью ε, для чего нужно лишь найти наименьшее натуральное k, удовлетворяющее нер-ву: .

Метод хорд. Пусть . Сущность метода состоит в замене кривой y=f(x) хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f(x) имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, для которого знак f(x)совпадает со знаком второй производной . Расчетная формула имеет вид .

13. Интерполяционный полином Ньютона и его остаточный член.Интерполяционная ф-ла Ньютона позволяет выразить интерполяц мн-лен P_n(x) через знач f(x) в одном из узлов и через разделенные разности ф-ции f(x), построенные по узлам x₀, x₁,…, x_n. Эта формула явл разностным аналогом формулы Тейлора: f(x)=f(x₀)+(x-x₀)*

*f’(x₀)+(x-x₀)²f”(x₀)/2!+…(1)Прежде чем приводить ф-лу Ньютона, рассм-м сведения о разделенных разностях. Пусть в узлах x_k известны значения ф-ции f(x). Предполагаем, что среди точек x_k, k = 0,.., n нет совпадающих. Тогда разделенными разностями первого порядка называются отношения

(2)Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, то есть выражения f(x₀,x₁),…,f(x_n-1,x_n) По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка: (3) Аналогично определяются разности более высокого порядка. То есть пусть известны разделенные разности k-го порядка тогда разделенная разность k+1-го порядка определяется как (4)Интерполяционным многочленом Ньютона наз мн-лен (5) Показано, что интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с интерполяционным многочленом Ньютона.

14.Регулизация зад числ. Дифференцирования

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f(x₀);…, y₁= f(x₁);…,y_{n =} f(x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P(x_i) = y_i. Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а₀, а₁, а₂ ,…, а_n получаем с-му лин ур-ний (1)

определитель которой отличен от нуля, если среди точек x_i (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.

Решение системы (1) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона. интерполяционный многочлен Лагранжа:

(3)

Нетрудно заметить, что старшая степень аргумента х в многочлене Лагранжа равна n. Кроме этого, несложно показать, что в узловых точках значение интерполяционного многочлена Лагранжа соответствует заданным значениям f(x_i).