19. Малая и большая формула средних прямоугольников и ее остаточный член.

Рассм. простейшие ф-лы приближенного интегрирования

; ф-ла левых прямоугольников

ф-ла правых прямоугольников; ф-ла средних прямоугольников.Пусть ,

(1)

(2)

; ;

(3).Пусть ,

(5)

Разобьем [a;b] на n частей и к каждой применим свою ф-лу пр-ков. (6) –большая ф-ла пр., где h=(b-a)/2

При , (6) - ф-ла л.пр-ков; при , (6) - ф-ла пр.пр-ков; при (6) - ф-ла ср.пр-ков.

36. Краевые задачи. Редукция к задачам Коши.

Рассмотрим линейную краевую задачу:

(1)

(2) . Будем искать решение y=y(x) линейной краевой задачи в виде: (3), где С – const. Подст. (3) в (1):

и (5). (6); и (7).

(7.1) Это вып-ся если : и (8);

и (9). Рассматривая (5),(8),(9) можно решить 2 зад. Коши и мы найдем u(b) и

; (10);

Подст. (11) в (3) получим реш-е зад.(1)-(2). Т.обр. мы свели зад. (1)-(2) к реш-ю зад. (5),(8),(9) и к вычислению С по ф-ле (11).

41. Метод Галеркина решения линейных краевых задач.

Лемма: Если последовательность из полной системы ЛНЗ функций, то (f ;_k)=0, k  f = 0

Док-во: (_i ; _j) = 0. Если f = , то ( = = т.к. , f = ч.т.д.

Рассмотрим линейную краевую задачу: Lu=f (1), L – диф. Оператор 2-го порядка. Решение будем искать в виде (3), _i - взяты из полной системы ЛНЗ функций.

,

Выбираем ₀ так, чтобы этот набор ф-й удовлетворял условиям

_i удовлетворяет однор. краевым условиям: . Подставим (3)в(1): L(U)-f = L( ) – f =L(₀)+ - f = 0 = R(c₁,c₂,…,c_n).

Ищем с из условия: (R(x,c₁,…,с_n), _i)=0, i.

Т.к. (y(x);z(x))=  (7); (7.1);

(7.2)

(7.3)

42. Метод наименьших квадратов решения линейных краевых задач.

Рассм-ся задача (1)-(2): (1);

(2). Решение ищем в виде: .После подставления в(1) она имеет вид: . Требуется, чтобы : при некотором наборе c_i. Исп-я усл-е min можно записать:

, где j=1,n – система ур-й с n неизв., она будет линейной, если оператор L – линейный.

1.Прямые методы решения слау.

Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы - методы, кот приводят к р-ию за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным.Мы рассматриваем численное решение таких СЛАУ, у кот число ур-ний совпадает с числом не­известных, причем предполагается наличие единственного решения.Изучается вопрос о численном р-ии с-мы …(1) или иначе, векторно-матричных уравненийАх=b. (1a) где b – вектор свободных членов x - вектор неизвестных координатами, а А - n*n-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов р-ия с-мы (1) во многом зависит oт структуры и св-в матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности специфики расположения ненулевых эле­ментов в матрице и др.

Прямые методы решения СЛАУ:Метод Гаусса.LU-разложение.Метод квадратного корня.

1) Метод Гаусса. Суть: последовательное исключение неизвестных. Поэтапно приводим систему к треугольному виду, исключая последовательно сначала x₁ из 2,3, …, n-го у-ний, затем x₂ из 3-го, 4-го,..,n-го у-ий преобразованной с-мы, и т.д. Для 1-го преобраз. коэф. ищем по ф-ле: . . где i,j=2,3…Продолжая этот процесс на (n-1)-ом этапе прямого хода МГ приведём с-му к треугольному виду. Треугольная структура с-мы позволяет последовательно вычислять знач. неизвестных , начиная с последнего. Этот процесс наз. обратным ходом МГ. ).Числа, на которые проводится деление в МГ, наз. ведущими или главными элементами. Главный элемент – наибольший эл-т в столбце (для исключения деления на нуль и уменьшая погрешность вычислений)

2)LU-разложение.

Если все главные миноры квадратной м-цы А отличны от нуля => ниж L и верх U треугольная м-цы, что A=LU. Если э-ты диагонали одной из м-ц L или U –фиксир.(ненулевые), то такое разложение единственно. u₁₁=a₁₁,…,u_1n=a_1n; l_n1u₁₁=a_n1, l_n1u_1n+ …+u_nn=a_{nn., .} (где i j)

. (где i>j)

Заменяем A в Ax=b =>LUx=b решаем с-му => сначала вычисляем y из Ly=b затем полученный результат подставляем в Ux=y и находим x.

3)Метод квадратного корня(М. Холецкого).Пусть A-симметричная м-ца (a_ij=a_ji). Представляем её в виде A= , где U= реш. с-мы сводится к реш. 2-ух треугольных с-м : и нах. По ф-лам:

Замечание: Вычислительные затраты на операции умножения и деления в МГ- О( ) , в МКК- О( )