20.Формула Симпсона

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки (x_j, f(x_j)), где j = i-1; i-0.5; i, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.14)

Проведя интегрирование, получим:

(2.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке [a, b] формула Симпсона примет вид

(2.16)

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(2.17)

Тогда формула Симпсона примет вид

(2.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (2.19)

где h·n = b - a,

Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O(h⁴).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

21.Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Дальнейшее повышение порядка точности формул, подобных квадратурным формулам центральных прямоугольников, трапеций, парабол, можно получить, применяя на отрезках разбиения интерполяцию функции f(x) многочленами более высокой степени (ниже мы использовали линейные функции, то есть многочлены степени 1, и квадратные трёхчлены -- многочлены степени 2).

Например, если использовать кубическое интерполирование, то есть приближать функцию f(x) многочленами степени 3, то получится формула, называемая кквадратурной формулой 3/8 (три восьмых)":

где h_i=x_i-x_i-1; x_i-1/3=x_i-1/3h_i; x_i-2/3=x_i-2/3h_i

т е точки x_i-2/3 и x_i-1/3 делят отрезок разбиения [x_i-1;x_i]на три равных части. Число 3/8 в названии формулы связано с тем, что если положить h=h_i=(b-a)/n постоянным и ввести обозначение , то формула получает вид

23. Правило Рунге — Ромберга . Пусть у_k^(h) и у_2k^(2h) — значения искомой функции, полученные одним из указаний выше методов при шагах вычисления h и 2h соответственно, а ε — заданная абсолютная предельная погрешность Тогда считается, что достигнута заданная точность вычислений, если выполняется неравенство

(5)

при всех k и при s = 2, 3, 4 соответственно для методов Эйлера, Эйлера с итерациями и Рунге — Кутта. Решением задачи является функция {y_k^(h)}.

Применяя указанное правило, последовательно вычисляют значения искомой функции с шагом 2h и с шагом h и сравнивают полученные результаты по формуле (5). Вычисления заканчивают, когда неравенство (5) выполняется при всех k.

24. Восстановление функций по мнк.

Задача о сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

x	x1	x2	...	xi	...	xn
y	y1	y2	...	yi	...	yn

Требуется наилучшим образом сгладить экспер-ную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x). Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул. Зад. нахождения эмпирических формул разбивается на два этапа. На первом этапе нужно установить вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Второй этап – определение неизвестных параметров этой ф-и.

Часто вид эмпирической зависимости известен, но числовые параметры неизвестны. Будем считать, что зависимость полиномиальная, а для определения параметров полинома рассмотрим метод.МНК. Пусть y=f(x) задана таблицей своих значений: y_i=f(x_i) ,i=0,..,n Требуется найти многочлен фиксированной степени m для которого среднеквадратичное отклонение (СКО)

мин-но. Так как многочлен P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m

определяется своими коэф, то фактически нужно подобрать набор коэфф a₀,…, a_m мин-щий ф-ю

Используя необх условие экстремума, получаем так наз. нормальную с-му МНК:

Полученная с-ма есть с-ма алгебраических ур-й относительно неизвестных a₀,a₁..a_m. Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса. Запишем нормальную с-му наимен квадратов для двух простых случаев:m=0 и m=2. При m=0 мн-лен примет вид: P₀(x)=a₀. Для нахождения неизвестного коэфф a₀ имеем ур-ие:

_.

Получ, что коэф a₀ есть среднее арифметическое знач ф-ции в заданных точках.

Если же используется мн-лен 2 степени P₂(x)=a₀+a₁x+a₂x²то нормальная с-ма у-ний примет вид: