Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
сборка.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.4 Mб
Скачать

16. Регуляризация задачи численного дифференцирования

Пусть имеется двухточечн апрокс произв-й n=1, f’(x0)~(f(x0+h)-f(x0))/h, что соотв-ет замене ф-ции f линейной ф-цией, ε-погрешность вычислениязнач-й ф-ции. При выч-ии f”(x0) образ-ся предельная абсол. погр-ть 2ε/h-погр-ть прибл. Выч-ния произв по знач-м ф-ции. С другой стороны в рез-те замены произв-й её разностным аналогом мы имеем погрешность R1'=M2h'/2; g(h)=2E/h+h M2/2->min, g’(h)=-2E/h2+ M2/2=0, h=√4E/ M2=O(√E).Чистое диффер-ние-не корректная зад и требует построения регуляризующего алг.-ма. Простейший регуляризатор для числ-го алг-ма – регуляризация по шагу. Для для двухточ-ой аппроксимации шаг д.б. порядка О(√ε),ε-погрешность вычислениязнач-й ф-ции.

17. Численное интегрирование. Формулы Ньютона-Котесса

Если ф-ция задана таблично, или интеграл неберущийся, то прим. числ. интегр. Простейшие ф-мы: ф-ла трапеций и ср-х прямоуг-в. Ф-ла Ньют-Кот:∫f(x)dx=∑Ai f(xi)+R, Ai-квадратурные коэф, xi-квадр-е узлы. Рассм. ∫f(x)dx=∫(Pn(x)-Rn(f,n))dx=∫Pn(x)dx+Rn. Расм. равном-ю сетку:X1=a, Xn=b, h=(b-a)/n, Xi=Xo+ih, t=(x-xo)/h, dx=h dt, ω(x)=(x-xo)(x-x1)…(x-xn)=th(t-1)h(h-2)h…(t-n)h=hn+1П(t); ω’(t)=ih(i-1)hh(-h)(-2h)…(-(n-i))h=i!hi(n-i)!hn-i(-1)n-i=hni!(n-i)!(-1)n-I. Ai=(b-a)Bi, Bi=((-1)n-i/ni!(n-i)!)*∫П(t)dt/(t-i)-коэф Ньют-Кот, не зависит от подинт. ф-ции, обл. итегрир, числа точек n.Пусть n=1,f(x0)=f(a), f(x1)=f(b), Bo=1/2, B1=1/2:f(x)dx=(b-a)∑Bi f(xi)+R1=((b-a)/2)*(f(a)-f(b))+R1-ф-ла трапеции

18. Малая и большая формула трапеций.

Заменим ф-цию на отрезке [a;b] многочленом Лагранжа 1-й степени с узлами х0=а, х1=b. (1)F=∫f(x)dx≈((b-a)/2)*(f(a)-f(b)). Для нахождения погр-ти разл f(x) по ф-ле Тейлора: f(x)=f(x*)+(x-x*)f(x’)+0.5(x-x*)2+…, х*=0.5(a+b). Член погрешности R=∫f(x)dx-((b-a)/2)*(f(a)-f(b)) ≈-(b-a)3f’’(x*)/12. Интеграл разбивают на сумму инт-в по шагам сетки и к каждому шагу применяют ф-лу(1), получ обобщ-ю ф-лу трапеций ∫f(x)dx≈∑(Xi-Xi-1)(f i-1 +fi)/2, R≈-∑(Xi-Xi-1)3f’’’(x*i)/12. На равномерной сетке она упрощается: ∫f(x)dx≈ h(fo/2+ f1+f2+…+f N-1+f N), R≈-∑h3f’’’(x*i)/12≈-h2∫f’’’(x)dx/12, h=Xi-Xi-1. Для справедливости этой оценки необх существ-ние непрер-й f’’’(x), если она кус-но-непр-на, то |R|≤(b-a)h2M2/12, M2 =max|f’’’(x)|.

19. Малая и большая формула средних прямоугольников и ее остаточный член.

Рассм. простейшие ф-лы приближенного интегрирования ; ф-ла левых прямоугольников; ф-ла правых прямоугольников; ф-ла средних прямоугольников. Пусть , (1)

(2); ; ;

(3)

Пусть ,

(5); Разобьем [a;b] на n частей и к каждой применим свою ф-лу пр-ков.

(6) –большая ф-ла пр., где h=(b-a)/2. При , (6) - ф-ла л.пр-ков; при , (6) - ф-ла пр.пр-ков; при (6) - ф-ла ср.пр-ков.

20.Формула Симпсона

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки (xj, f(xj)), где j = i-1; i-0.5; i, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.14)

Проведя интегрирование, получим:

(2.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке [a, b] формула Симпсона примет вид

(2.16)

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(2.17)

Тогда формула Симпсона примет вид

(2.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (2.19)

где h·n = b - a,

Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O(h4).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.