5.Регуляризация плохо обусловленных слау.

Рассмотрим задачу Ax=y (1)

A:X Y, X,Y-Банаховы пр-ва.

df. Говорят, что задача (1) корректна по Адамару, если

1) y Y реш. x^* X

2) x^*-единственное в X

3) x^*-устойчиво, т.е. малому изменению y соотв. малые измен. x.

, è устойчивость, есть непр-ть обратного оператора.

При нарушении хотя бы одного из этих усл. задача .наз. некорректной по Адамару.

Чаще всего нарушается усл. 3).

D из X, образ D, AD=N.

Рассм. задачу Ax=y (1) A(D из X N из F)

df. Задача будет считаться корректной по Тихонову если

1) реш. x^*

2) x^*-единственное в D

3) x^*-устойчиво, т.е. малому изменению y соотв. малые измен. x .

Если задача корректна по Адамару, то она корректна и по Тихонову, т.е. задачи станов. корректной за счёт сужения класса корректности.

Алг. регуляризации Тихонова:

Вместо Ax=y рассм. функционал J

0< , [10^-1,10^-3]- параметр регуляризации.

Относительно понимается:

1)точное реш. x^*

2) 0, - неотрицательный функционал.

3)мно-во образует компакты

удовлетв. 2) и 3) св-ву.

Рассм. задачу ( )x= (2)

Вместо задачи по Тихонову рассм. задачу (2)

, ( x,x)=( x, x)=(Ax, Ax)= ²>0,

( )- положит. опр., т.е. m>0, т.е. (( )х, х) m(x, x)

Т.к. матрица в у-ии (2) положит. определ., то при любой правой части реш.

(3)

Проводим серию расчета, а затем находим

(Ax,y)=(x, y)

2 -2 +2 =0

( )x= + (*)

Задачу минимизации функционала мы свели к решению з. (*)

( )х= - Регуляризация по Тихонову.

(4)

То для котор. имеет место (4) обычно приним. в качестве регуляризованного реш-ия СЛАУ.

6.Обзор задач линейной алгебры. Уточнение эл-ов приближ. Обратной ма-цы .

Выделяют 4 основные за-чи лин. алгебры:реш-е лин.ур-ий Ах=b, где А-квадр.м-ца и х,b-век-ры; вычисление определителя; нах-ние обрат. м-цы; опред-е собственных знач-й и собств. векторов м-цы. Если detA=0,то СЛУ или не имеет реш-я, или имеет бесчислен-е мн-во ре-ий. Если же detA≠0, то с-ма им. ед.реш-е. Для реш-я СЛАУ используют как прямые(кот. требуют для достижения рез-та конечного числа операций), так и итер.методы(кот. позволяют получать реш-я в в виде бескон. послед-ти приближ. реш-ий).

Определитель и обратная матрица легко вычисляются с использованием метода Гаусса, поскольку м-ца сводится к трехдиагональной, а ее опреде­литель равен произведению диаго­нальных элементов: , где знак зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк. Для выч-я обратной м-цы используетя соотношение . Рас-м , где , тогда – это n с-м с n² неизвестных, а x_ppk – элементы обратной м-цы.

Собствен-е зн-я и в-ры. Собственным вектором линейного оператора A называется такой ненулевой вектор х, что для некоторого λ выполняется

Ax = λx. Собственным значением линейного оператора A называется такое число λ, для которого существует собственный вектор х, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение, х≠0. Преобразуем равенство: .Тогда решаем , откуда находим собственные зн-я. Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить линейному оператору квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен

Множество всех собственных значений назыается спектром. После того, как спектр будет вычислен ,мы можем найти соответствующие им собст.в-ры.

Уточнение прибл.обр.м-ц. Пусть обрат.м-ца найдена каким-либо прямым методом. Если величина , то даннае качество обр.м-цы нас устраивает.Если нет, то уточняем др.методом: , , где -очередное n-ое приближение . . Тогда .