1.Прямые методы решения слау.

Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы - методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (поэтому прямые методы наз. ещё точными методами)

Мы рассматриваем численное решение таких СЛАУ, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных не­известных, причем предполагается наличие единственного решения, если существование и единственность не следует из каких-либо условий.

Итак, изучается вопрос о численном решении системы …(1) или иначе, векторно-матричных уравнений Ах=b. (1a) где b – вектор свободных членов x - вектор неизвестных (он же в другой ин­терпретации может означать и вектор-решение) с вещественны­ми координатами, а А - вещественная n*n-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов реше­ния системы (1) во многом зависит oт структуры и свойств матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности (т.e. соотношения между числом ненулевых и нулевых элементов), специфики расположения ненулевых эле­ментов в матрице и др.

Прямые методы решения СЛАУ:

1.Метод Гаусса(с выбором главного элемента по столбцам).

2.LU-разложение.

3.Метод квадратного корня.

1) Метод Гаусса. Суть: последовательное исключение неизвестных. Поэтапно приводим систему к треугольному виду, исключая последовательно сначала x₁ из второго, третьего, …, n-го у-ний, затем x₂ из 3-го, 4-го,..,n-го у-ий преобразованной системы, и т.д. Для 1-го преобраз. коэф. ищем по ф-ле:

. . где i,j=2,3…

Продолжая этот процесс на (n-1)-ом этапе прямого хода МГ приведём с-му к треугольному виду. Треугольная структура с-мы позволяет последовательно вычислять знач. неизвестных , начиная с последнего. Этот процесс наз. обратным ходом МГ.

)

Числа, на которые проводится деление в МГ, наз. ведущими или главными элементами. Главный элемент - наибольший

эл-т в столбце (для исключения деления на нуль и уменьшая погрешность вычислений)

2)Lu-разложение.

Если все главные миноры квадратной м-цы А отличны от нуля => нижняя L и верхняя U треугольная м-цы, что A=LU. Если э-ты диагонали одной из м-ц L или U –фиксир.(ненулевые), то такое разложение единственно. u₁₁=a₁₁,…,u_1n=a_1n; l_n1u₁₁=a_n1, l_n1u_1n+ …+u_nn=a_nn.

_. (где i j)

. (где i>j)

Заменяем A в Ax=b =>LUx=b решаем с-му => сначала вычисляем y из Ly=b затем полученный результат подставляем в Ux=y и находим x.

3)Метод квадратного корня(М. Холецкого).

Пусть A-симметричная м-ца (a_ij=a_ji). Представляем её в виде A= , где U= реш. с-мы сводится к реш. 2-ух треугольных с-м : и нах. По ф-лам:

Замечание: Вычислительные затраты на операции умножения и деления в МГ- О( ) , в МКК- О( )

2.Метод трехдиагональной матричной прогонки.

Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы - методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (поэтому прямые методы наз. ещё точными методами)

Мы рассматриваем численное решение таких СЛАУ, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных не­известных, причем предполагается наличие единственного решения, если существование и единственность не следует из каких-либо условий.

Итак, изучается вопрос о численном решении системы …(1) или иначе, векторно-матричных уравнений Ах=b. (1a) где b – вектор свободных членов x - вектор неизвестных (он же в другой ин­терпретации может означать и вектор-решение) с вещественны­ми координатами, а А - вещественная n*n-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов реше­ния системы (1) во многом зависит oт структуры и свойств матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности (т.e. соотношения между числом ненулевых и нулевых элементов), специфики расположения ненулевых эле­ментов в матрице и др.

Если м-ца А слабо заполнена, т.е. имеет немного ненулевых коэф. ищем реш. с-мы

b_ix_i-1+c_ix_i+d_ix_i+1=r_i (2), где i= ; b₁=0, d_n=0. – Трёхточечные разностные у-ия второго порядка.

=

Чтобы избавиться от ненулевых эл-ов в поддиагональной части м-цы с-мы, предположим, что наборы чисел и (i= ).

Подставляем в (2) :

• (3)

; (4)

Решение с-мы сводится к нахождению прогоночных коэф. , по ф-лам (4) (прямая прогонка), а затем получение неизв. по (3) (обратная прогонка).

Прогонка наз. корректной, если знаменатели коэф.(4) не обращаются в нуль, и устойчивой если <1 i

Если и у-ия (2) при i=2,...,n-1. –отличны от нуля и + i=1,2,…,n

è + 0, <1 , т.е. прогонка корректна и устойчива.

Замечание:

1. Прямой метод даёт приближ. реш. - невязка, по малости которой можно с осторожностью судить о близости найденного реш. к точному. Если -недостаточно мала, то следует искать вектор-поправку p : èAp= Решаем 2 треугольные с-мы: и прибавив найденную поправку p к уточнённое приближение.

2. Вычислительные затраты на операции умножения и деления О(5n) .

3. Итерационные методы решения СЛАУ.

ИМ-м., в котором точное реш. мб получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий.

1)Метод простых итераций.

Дана с-ма Ax=b (1) , тем или иным способом преобразовывается в эквивалентную ей с-му:

x=Bx+c (2), где B и c – некоторые новые м-ца и вектор соответственно. Эту с-му можно трактовать, как задачу о неподвижной точке линейного отображения B в пр-ве и по аналогии со скалярным случаем определить посл-ть приближений к неподвижной точке рекурентным р-ом :

, (3) k=0,1,2,… - Итерационный процесс

(3) , начиная с некот. ^T –наз. МПИ.

Условия сходимости МПИ:

Условие, что все собственные числа В по модулю меньше 1, явл. необх. и дост. для того чтобы 1) 0, при k (k N)

2)(E-B)- имела обратную (E-B)^-1=E+B+B²+…+B^k+…

2. Если , то(E-B) имеет обратную (E-B)^-1= и при этом справедливо нер-во:

Из 1. и 2. è Т. Необход. и дост. усл. сх-ти МПИ при нач. векторе к реш. с-мы (2) явл. требование, чтобы все собственные знач. м-цы В были по модулю меньше 1.

Т. Пусть Тогда начальном МПИ сх-ся к единственному реш. задачи (2) и k N справедливы оценки погр.: 1) – апостериорная.

2) –априорная.

Замечание:

1) Априорная оценка как правило, грубее апостериорной.

2)Априорная оценка позволяет подсчитывать заранее число итераций k , достаточное для получения реш. с заданной точностью . Для этого нужно найти наименьшее целое реш. нер-ва: -относительно k

3)За обычно принимают вектор с - свободных членов (2) т.к. В “мала” è Bx “мал” è не должен сильно отличаться от с.

2)Метод Зейделя

МЗ – видоизменение МПИ реш. СЛАУ, приведенных к виду (2) при котором i-тые компоненты (k+1)-го приближения к искомому вектору используются уже найденные на этом, т.е. (k+1)-ом шаге , новые значения первых i-1 компонент. Это означает, что если с-ма Ax=b сведена к x=Bx+c, где В – матрица, с – вектор, то приближение к её реш. по МЗ определяется с-ой равенств :

, где k=1,2…; - э-ты нач. вектора.

МЗ называют м. последовательных смещений, а МПИ – одновременных смещений.

Условия сходимости МЗ и МПИ одинаковы. Область сходимости этих методов не всегда совпадают, а если и совпадают, то скорость сх-ти у МЗ больше. Достаточное условие сходимости МЗ не совпадает с дост. усл. сх-ти МПИ, но если МПИ сх-ся, то сх-ся и МЗ.