7

Тема 2. Инвестиции и время. Шесть функций сложного процента

1. Вычисление наращенной суммы на основе сложных процентов

2. Нахождение текущей стоимости (дисконтирование)

3. Аннуитет. Наращенная сумма ренты

4. Современная величина ренты

5. Взнос на амортизацию долга

6. Фактор фонда возмещения

Одна из главных проблем при расчете инвестиций заключается в сопоставлении выплат, которые делаются в разные моменты времени. Одинаковые по величине доходы или затраты, осуществляемые в разное время, экономически неравнозначны.

Деньги имеют временную стоимость, т.е. рубль, полученный сегодня, стоит дороже, чем рубль, полученный завтра. Временная стоимость денег – важный аспект при принятии решений в финансовой практике, а также оценке инвестиций.

1. Вычисление наращенной суммы на основе сложных процентов

Вычисления на основе сложного (кумулятивного) процента означает, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет (рис. 1). Первоначальная сумма вклада называется текущей стоимостью.

Рис. 1. Начисление сложных процентов

Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам производиться по формуле:

,

где К_t – наращенная сумма;

К₀ – первоначальная сумма, на которую начисляется процент;

Е – ставка сложных процентов, выраженная десятичной дробью;

t – число лет, в течение которых начисляются проценты.

Начисление процентов на проценты — мощное средство. Это становится очевидным, если рассчитать, как много времени понадобится для того, чтобы удвоить сумму инвестиций:

Процентная ставка (Е)	Время удвоения первоначальной суммы, лет
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20	35,0 14,2 7,3 5,0 3,8

Пример 1.1. Вкладчик внес в банк 500 руб. под 10% годовых. Определить величину наращенной суммы через 4 года.

Однако в большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления процентов в году. Тогда для расчета наращенной суммы используется формула:

где j – номинальная годовая процентная ставка;

m – число периодов начисления процентов в году;

t – число лет.

Пример 1.2. Депозит в размере 500 руб. внесен в банк на 3 года под 10% годовых; начисление процентов производится ежеквартально. Определить наращенную сумму.

Кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки. Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который получает владелец капитала в целом за год. Другими словами, отвечает на вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j/m. Эффективная ставка сложных процентов определяется по формуле:

Пример 1.3. Необходимо определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j=18%, при ежеквартальном начислении процентов.