5)Формула полной вероятности. Как узнать задачу на эту формулу.

События образуют полную группу, если они в совокупности описывают все возможные несовместные друг с другом исходы некоторого испытания; сумма вероятностей событий полной группы равна 1. Например, испытание - бросание игральной кости. Всего исходов испытания - шесть (число выпавших очков от 1 до 6), каждый может произойти с вероятностью 1/6, сумма вероятностей всех исходов равна

6)Формула Байеса. Как узнать задачу на эту формулу.

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).

Pa(H1)=P(H)Ph1(A)/P(A), где Ph1(A) - безусловную вероятность, Pa(H1) - вероятность гипотезы a при наступлении события H1, P(Hi) вероятность наступления события H1, P(A) полная вероятность наступления события A

Пример

Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?

Решение

Событие А – деталь оказалась бракованной.

Гипотеза Н1 – деталь изготовлена в 1-м цехе; Р(Н1) = 2/3

Гипотеза Н2 – деталь изготовлена во 2-м цехе; Р(Н2) = 1/3

Условные вероятности события А: PH1(A)=0,05; PH2(A)=0,04

Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло:

Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности: Pa(Hi)=P(H)Ph1(A)/P(A)

7)Повторные независимые испытания. Закон Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

- формула Бернулли

8)Случайная величина. Типы случайных величин. Как их задают.

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.

В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример 1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

Пример 2. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.

Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (пример 1)

Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.