20.Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный смысл. Зависимость формы нормальной кривой от параметров.

Влияние параметров а и σ на вид нормальной кривой.Нормальное распределение явл. одним из наиболее часто встречающихся. Играет большую роль в тер. вер., поскольку явл. Предельным законом, к к-ому приближаются все др. законы распределения.Док-но, что если знач. СВ возникают в результате большого числа независимых воздействий, ни одно из к-ых не превалирует над остальными, то результат этих воздействий явл. СВ, распределенной по нормальному закону почти всегда.По нормальному закону распределены:случайные ошибки измерения,лин. размеры деталей при массовом пр-ве,биометрические показатели лиц определенного возраста,отклонения в результате хим., спектральных и других анализах.

Говорят, что непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ, если ее плотность распределения имеет вид -(x- a)²/2σ²

f(x)=( 1/σ√2π) e

Определение корректно, т.к.:

_-∞∫^+∞f(x)dx=1

M(X)= _-∞∫^+∞xf(x)dx=a

σ (X)= _-∞∫^+∞(x-M(X))²f(x)=σ²

Для геометрической интерпретации параметров а и σ исследуют поведение ф-ии

-(x-a)²/2σ²

f(x)=( 1/σ√2π) e

график к-ой наз. нормальной кривой.

График симметр.относит.а

При изменении параметра а форма кривой не меняется, а ее график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ меняется форма нормальной кривой: с увеличением параметра σ кривая должна приближаться к 0Х и растягиваться вдоль этой оси, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х=а.

21. Случайный вектор. Свойства функции распределения случайного вектора

Случайный-вектор в теории-вероятностей — вектор  ,компонентами-которого служат случайные-величины  ,совместное распределение которых задается вероятностями

где   — борелевское подмножество, которые однозначно определяются n-мерной функцией распределения

Абсолютно непрерывное распределение случайного вектора   пределяется плотностью  :

Дискретное распределение случайного вектора   определяется не более, чем счётным числом вероятностей   так, что

23.Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

Моментом n-го порядка Х по отн-ию к знач-ию а M_n(a)=M(X-a)ⁿ, а=0-начальный момент ύ_n

ф=Ь(Ч)-центральный μ_n

Для ДСВ: ύ_n=

Для НСВ: ύ_n=

Можно показать что справедлива формула:

μ_n=

μ₂₌ύ₂-ύ₁²

μ₃=ύ₃-3ύ₂ ύ₁+2ύ₁²

μ₄=ύ₄-4ύ₁ ύ₃+6ύ₁² ύ₂-3ύ₁⁴

На практике при изуч. распределения отличного от норм. необх. колич. оценить эти различия для этого вводятся вспомог.числ. хар-ки

ассиметрия и эксцесс.Центр.

момент 3-го порядка μ₃ характ-ет отклонение распределения СВХ от симметрии относит. мат.ожид.За меру этого отклонения берут число:

α = μ₃/σ³(х)-коэф.ассиметрии.

Ассиметрия всех распред-ий графики которых симметр. относит.прямой х=а=М(х) равна 0. Центр.момент 4-го порядка μ₄ служит для хар-ки крутости распред-ия СВ Х по сравнению с крутостью распред-ия НСВ с мат.ожид.и дисп. такими же как и у Х.За меру этой крутости берут число: χ = [ μ₄/σ⁴(х) ] -3

Мы знаем числовые характеристики, описывающие поведение каждой

случайной величины из случайного вектора (X₁, X₂). Это - MX₁ , MX₂ , DX₁ , DX₂ .

Ковариация описывает связь между этими случайными величинами.

Величина cov(X₁, X₂) = M[(X₁ - MX₁)(X₂ - MX₂)] = M(X₁ X₂) - (MX₁)(MX₂)      называется ковариацией (covariance)

Коэффициент корреляции - это безразмерная характеристика независимости (и зависимости) случайных величин, как показывает следующая теорема.

 Теорема   Верны соотношения :

1.     | r(X₁, X₂) |   1

2.     если Х₁ , Х₂ независимы, то r(X₁, X₂) = 0

3.     если | r(X₁, X₂) | = 1 , то Х₁ , Х₂ - линейно зависимы, то есть существуют  постоянные A, B, C такие, что величина

 AX₁ + BX₂ + C = 0  с вероятностью 1

24.Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора.Задачи математической статистики Математическая статистика, раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Предмет и метод математической статистики. Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания. Множество всех единиц совокупности, обладающих определенным признаком и подлежащих изучению, носит в статистике название генеральной совокупности. На практике по тем или иным причинам не всегда возможно или же нецелесообразно рассматривать всю генеральную совокупность. Тогда ограничиваются изучением лишь некоторой части ее, конечной целью которого является распространение полученных результатов на всю генеральную совокупность, т. е. применяют выборочный метод. Для этого из генеральной совокупности особым образом отбирается часть элементов, так называемая выборка, и результаты обработки выборочных данных (например, средние арифметические значения) обобщаются на всю совокупность.

25.Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Дискретный вариационный ряд характеризует распределение единиц совокупности по дискретному признаку, принимающему толь­ко целые значения. Для его построения следует перечислить все встречающиеся варианты значений признака и подсчитать частоту повторения. При графическом изображении дискретных вариацион­ных рядов используется полигон распределения, или полигон частот. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносится шкала для выражения величины частот. Полученные на пересечении абсцисс и ординат точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию.Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x) , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Та-ким образом, по определению F*(x)= Nx/N, где Nx–число вариант, меньших x, n – объем выборки.Свойства:1)Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1]. 2)неубывающая функция. 3)Если x – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при x<=Xk , если x– наибольшая варианта, тоF*(x)=1 при x>Xk. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.