Вопрос 5

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Существует всего 4 способа задания плоскости в чертеже.

Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий,  рис.1  б) прямой и точкой, взятой вне прямой,   рис.2 в) двумя пересекающимися прямыми,       рис.3 г) двумя параллельными прямыми.            рис.4 Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем пе¬рейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.      рис.1                                                                               рис.2   

Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью. Существует три вида проецирующих плоскостей

Плоскость общего положения

Плоскость, которая занимает произвольное положение по отношению к плоскости проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций - произвольные, но отличные от 0° и 90°) называется плоскостью общего положения (рис. 2.12.а).

На комплексном чертеже следы плоскости общего положения составляют с осью проекций также произвольные углы.

Вот рис 2.12.а

А                                             Б                                             В

Вопрос 6 Взаимное расположения двух плоскостей в пространстве

 

 Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

• Параллельны

• Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в  противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть  и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости . Допустим, что плоскости  и  не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости  через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть  - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая,  - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости  и . Докажем, что плоскости  и  перпендикулярны. Проведем в плоскости  через точку пересечения прямой в с плоскостью  прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости  и  перпендикулярны. ч.т.д.