Причем это соответствие устанавливается форму­лой

U(z) = ReW((z)) = Re f(z).

Таким образом, зная конформное отображение (23), можно легко определить электрическое поле в исходной полосе 0 Im z H:

. (25)

Выполняя дифференцирование, находим :

, (26)

здесь А – постоянная, численно равная

. (27)

Интеграл в формуле (27) представляет собой так на­зываемый эллиптический интеграл. Надлежащей заме­ной переменной он может быть сведен к стандартному эллиптическому интегралу первого рода. В самом деле, в указанном интеграле заменим переменную по фор­муле

; 0 ; (28)

; -1 . (29)

Выбор именно такой замены переменной обеспечи­вается стремлением расположить особые точки эллип­тического интеграла симметрично началу координат. Так, из соотношений (28, 29) непосредственно усматривается следующее соответствие точек при преобразовании по формулам (28, 29):

(30)

В результате исходный интеграл преобразуется к

виду

. (31)

Наконец, с помощью замены

(32)

приходим к следующей формуле:

. (33)

Перед нами полный эллиптический интеграл пер­вого рода. Иногда для удобства в нем делают замену t = sin .

Таким образом, константа А принимает вид

. (34)

– эллиптический интеграл первого рода:

= . (35)

В реальных образцах, используемых для создания канальных волноводов, величина не превосходит 0,1. В первом приближении для нахождения поля можно воспользоваться асимптотическим выражением соот­ношения (26) при . Как известно [59], при

. (36)

Следовательно, на основании (26–29) и (34) с учетом ска­занного получаем приближенную формулу для нахож­дения поля :

, (37)

(38)

Постоянная G имеет размерность напряженности поля и численно совпадает (с учетом сделанного при­ближения) с величиной напряженности электрического поля в середине отверстия -а, а , т.е. при Z = 0 . Из формул (37) и (38) непосредственно видно, что при ,  0, что соответствует тому физическому факту, что металлическая маска полностью экранирует объем стекла от внешнего поля.

Рассмотрим теперь основное соотношение (19) для того частного случая, когда поле приближенно опи­сывается формулой (37).

Так как на траектории

, (39)

мы приходим к следующему уравнению движения:

. (40)

В начальный момент времени t = 0 ион, диффунди­рующий из расплава соли в стекло, находится в одной из точек отрезка  x  а.

После замены

(41)

уравнение (40) удается проинтегрировать. Непосред­ственная подстановка (41) в (40) приводит к уравнению

. (42)

Из последнего выражения видно, что величина

(43)

на кривой, соответствующей при замене перемен­ных (41), траектории движения ионного потока через стекло, является вещественной и положительной. Это соответ­ствует ситуации, когда d  0, т.е.  = const. Следова­тельно, упомянутая кривая есть радиальный луч, ,  = const , r  1.

C учетом сказанного после несложных выкладок получаем:

. (44)

Пусть весь процесс миграции ионов рассматривается в пределах временного промежутка 0  t  T. После ин­тегрирования (44) в пределах промежутка 0  t  T получаем следующее уравнение:

. (45)

Таким образом, профиль области миграции, а сле­довательно, и профиль волновода в первом приближе­нии описывается кривой

, 0     , (46)

где r_ – единственный корень уравнения (45), лежа­щий в промежутке r  1.

Качественная картина профиля области миграции ионов, стимулированной электрическим полем, пред­ставлена на рис. 19.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Рис. 19. Возможные профили поперечного сечения

волновода, получаемого в стекле

электростимулированной миграцией ионов

Константа в левой части формулы (45) имеет сле­дующий вид:

. (47)

Проверим, насколько точно эта модель отражает реальные физические процессы. Экспериментально ус­тановлено, что увеличение времени диффузии в К раз при неизменных остальных параметрах а, Н, U равно­сильно увеличению напряжения в К раз при неизмен­ных параметрах а, Н, Т. В данном случае модель по­зволяет предсказать этот эффект, так как увеличение в К раз времени диффузии или напряжения приводит к од­ному значению постоянной (47) в левой части уравнения (45).

Изучая зависимость величины постоянной (47) в ле­вой части уравнения (45) от параметров а, U, Н, Т, , g, можно «предсказать» и другие физические эффекты. Возможность предсказывать характер диффузии при изменении значений исходных параметров обусловлена двумя моментами: монотонностью правой части уравнения (45) по параметру и характером зависимости константы (47) от исходных параметров. Так, например, очевидно, с увеличением Н значение постоянной (47) уменьшается, следовательно, уменьшается и глубина проникновения ионов расплава соли в стекло за то же время. Наоборот, увеличение напряжения, времени диффузии и диаметра отверстия в маске в пределах 0 приводит к увеличению глубины проникновения ионов расплава соли в стекло. Все перечисленные моменты имеют экспериментальное подтверждение.