6. Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.

Теорема. Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство. Начнем доказательство с левого неравенства (1).

По определению

нижней цены в смешанных стратегиях

Здесь правая часть не зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р = A_i, i = 1, ..., m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i = 1, ..., m, то оно будет справедливым в частности для того номера i, который максимизирует показатель эффективности α_i:

Итак, первое из неравенств (1) доказано.

Докажем второе неравенство ≤ в (1). Для любых Р S_A и Q S_B по

и

имеем:

Соотношение (2) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (Р, Q) выигрыш H(P, Q) игрока A не меньше показателя эффективности α(P) его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (2) справедливо для любых Р S_A и Q S_B , то из него следует, что

Докажем последнее (правое) из неравенств (1). В силу определения

верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q = B_j, j = 1, ..., п , игрока В

и, следовательно, неравенство остается в силе и для того номера j, который минимизирует показатель неэффективности β(B_j) стратегии В_j, т.е.

Итак, (1) доказано.

6. Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выиг­рыш, равный цене игры: .

Применение первым игроком оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока вы­игрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проиг­рыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то зада­ча определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности це­лесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычерки­вания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Если , то такая игра называется иг­рой с седловой точкой, элемент матрицы , соответст­вующий паре оптимальных стратегий называется сед­ловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

6. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.

1. Рассмотрим игру 2х2.

Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке. Для игры, в которой отсутствует седловая точка оптимальное решение игры существует и определяется парой смешанных стратегий (x₁^*,x^*₂) и (у₁^*,у₂^*).

(!!!это заменяем на следующее обозначение смешанных стратегий P⁰ =(p₁⁰;p₂⁰) and Q=(q₁⁰;q₂⁰), соответственно дальше меняем сами)