4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.

Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.

Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.

5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.

Соотношение для α и β

Для элементов матрицы A имеют место неравенства

, , ,

и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях:

.

6. Критерий решения игры в чистых стратегиях.

Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.

6. Доказательство утверждения .

Теорема. Для элементов матрицы имеют неравенства и след-ноб нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

Д-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В имеем

, cлед-но доказано

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i₀ и j=j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегией A_i0 и B_j0:

Тогда в силу получим требуемое неравенство