6. Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.

Набор стратегий s=(s₁, … , s_n) образует равновесие по Нэшу если для любого P_k, (или ситуация s=(s₁, … , s_n) является равновесной по Нэшу)

где s - альтернатива стратегии a-ого игрока , - игровая ситуация, которая сложилась в результате выбора своих стратегий всеми игроками кроме a-ого

Пример . «Семейный спор».

Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет

6. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.

Обозначим набор смешанных стратегий s=(s₁, … , s_n) через σ=( σ₁, … , σ_n).

Ситуация (набор смешанных стратегий) σ=( σ₁, … , σ_n) является равновесием по Нэшу в игре ={А, {Σ^a}, { }}, если для любого а=1, …, n

где - альтернатива стратегии a-ого игрока , - игровая ситуация, которая сложилась в результате выбора своих стратегий всеми игроками кроме a-ого.

Однако существуют дополнительные условия, при которых ситуация в смешанных стратегиях является равновесной по Нэшу.

Пусть S_a⁺ S_a – множество чистых стратегий, которые игрок a играет с положительной вероятностью в ситуации σ=( σ₁, … , σ_n). Ситуация σ является равновесной по Нэшу в смешанном расширении игры Г тогда и только тогда, когда для всех a=1, 2, …, n

1. S_a⁺

2. S_a⁺, S_a⁺

Данные условия можно описать следующим образом:

1. Каждый игрок при данном распределении стратегий, которые играют его противники, безразличен между чистыми стратегиями, которые он играет с положительной вероятностью;

Эти чистые стратегии не хуже тех, которые он играет с нулевой вероятностью

46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2.

	B1	B2
A1	a11	a12
А2	a21	a22

А=

Сначала предположим, что матрица А имеет седловую точку aij, то есть элемент aij, наименьший в i-той строке и наибольший в j-том столбце. Тогда игра имеет решение в чистых стратегиях {Ai, Bj, V=aij}, где Ai и Bj- оптимальные стратегии соответственно игроков A и B, а V=aij – цена игры.

Рассмотрим случай, когда матрица [2x2]-не имеет седловой точки.

Тогда по теореме, каждый из игроков A и B обладает единственной оптимальной смешанной стратегией соответственно P^O=(p₁^O,p₂^O) и Q^O=(q₁^O,q₂^O), где

А цена игры (в смешанных стратегиях) V определяется формулой

Пояснение (без строгого доказательства):

Рассмотрим функцию выигрыша игрока A более подробно:

, .

Примем также следующие обозначения:

, ,

, .

Пусть и , тогда функцию можно переписать в виде:

.

Представим в явном виде функцию как линейную функцию с аргументом (независимой переменной) q. Получим следующее выражение:

.

Если , т.е. если

, график функции имеет положительный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать свои потери (минимизировать функцию ), выбирая свою второю чистую стратегию, т.е. реализуя смешанную стратегию , . В итоге исход игры определится результатом .

Если , т.е. если

, график функции имеет отрицательный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать функцию , выбирая свою первую чистую стратегию , .

В итоге исход игры определится результатом .

В итоге приходим к системе, решая которую, получим формулы, представленные в утверждении теоремы.