18.Распределения дискретных случайных величин: равномерное, геометрическое, гипергеометрическое.

Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

где N – количество возможных значений СВ.

Случайная величина имеет геометрическое распределение если P(x=k)=q^(k-1)p

Геометрическое распределени имеет случайная величина равная числу испытаний до первого успеха с вероятностью успеха в единочном испытании р. M(x)=1/p D(x)=q/p^2 . Отклонение = sqrt(D(x))

Случайная величина имееет гипергеометрическое распределение если P(x=m)=

Это распределение используется при контроле качества продукта для оценки доли бракованных изделей в выборе из контролируемой партии.

M(x)=np D(x)=npq . Отклонение = sqrt(D(x))

19.Распределения дискретных случайных величин: биномиальное, распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Биноминальное

Целочисленное случайная величина принимающая значение от 0 до n имеет биноминальное распределение если P(X=k)задают формулой бернули

По формуле Бернулли можно найти вероятность к успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р и неуспеха q

M(x)=np D(x)=npq . Отклонение = sqrt(D(x))

Пуасон. При больших значениях n используется. [Лямда =np] Pn(k)=

M(x)=np D(x)=np Отклонение = sqrt(лямда)

Поток событий. Потоком событий называют последовательность событий которые появляются в случайный промежуток времени. (прибытие самолетов в аэропорту)

Свойства:

стационарность- вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала отсчета, при этом различные промежутки времени непересекаются.

Отсутствие последствия –вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от появления событий в ближайшем будущем.

Ординарности- за бесконечный малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает св-вами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока ⋏ наз среднее число событий, которое появляется в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления K событий простейшего потока за время длительностью t определяется ф-лой Пуасона

20.Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

График функции f(x)

График функции F(x)

M(x)=(a+b)/2, D(x)=(b-a)^2/12 станд отклонение =(b-a)/2*sqrt(3), асимметрия =0, эксцесс = -6/5

Вероятность попадания в интервал

21.Показательное распределение непрерывной случайной величины.

Показательное (экспоненциальное) распределение.

Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной св X, которое описывается плотностью вероятностей: f(x) =

где > 0 - постоянная и называется параметром показательного распределения. График плотности распределения

Примером непрерывной св, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока, где - интенсивность потока. Таким образом, показательный закон лежит в основе математической модели систем массового обслуживания.

Функция распределения F(x) св, распределенной по показательному закону, равна :

F(x)=

График функции распределения

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно М(Х)= 1/ ,. Медиана Me=ln2/ Дисперсия D(X)= 1/ Среднее квадратаческое отклонение совпадает с математическим ожиданием. Начальные теоретические моменты можно найти по ф-ле . Коэффициент асимметрии равен А(Х)=2, эксцесс - Е(Х)=6.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал (α,β) определяется по формуле: P(α<X<β)=

Показательный закон применяется в качестве одной из возможных математических моделей в теории надежности. Параметр в теории надежности называется интенсивностью отказа элемента.