11 .Математическое ожидание дсв. Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание - неслучайная детерминированная величина, описывающая центр распределения.

M(x)=

Вероятностный смысл мамематического ожидания. Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равна вероятности этого события.

Статическией. Математическое ожидание является приближенной оценкой наивероятнейшего значении случайной величины Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины при n->бес служить оценкой мат ожидания.

Свойства

1.Если случайная величина Х примет одно и тоже значение при всех исходах случайного эксперимента то есть Х=с то ее мат ожидание равно С.

М(С)=С

2.Мат ожидание произведение случайной величины Х на постоянную С = произведению мат ожидания случайной величины на постоянную С.

М(СХ)=СМ(Х)

3.мат ожидание суммы случайной величины и постоянной равно сумме постоянной и мат ожидания случ величины.

М(С+Х)=М(Х)+С

4.Мат ожидание произведение нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их мат ожидания.

5.Мат ожидание суммы нескольких случ величин равно сумме мат ожиданий

6.Пусть х( для любых , тогда М(Х) М(У)

Теорема: мат ожидание числа появления событий А в n испытаниях равно произведению числа независимых испытаний на вероятность появления событий А в одном испытании. М(сумма)=np

Дисперсия случайной величины равна разности

12.Дисперсия, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.

Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.

Свойства:

1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0

2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)

3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную

D(C+X)=D(X)

Теорема:

Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании

D(X)=npq

Среднее квадратичское отклонение.

Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия

13.Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной.

Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.

Функция распред св.

Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.

Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е

F(x)=P(X<x)

Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется

Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства:

1.значение функции принадлежит [0,1]

2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2)<F(x1) если x2<x1

3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α<x<β)=F(β)-F(α)

Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0.

4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b

5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения

P(X x)=1-F(x)