4. Наивероятнейшее число событий в независимых испытаниях. Теорема Пуассона.

Число ко называется наивероятн чсилом появления соб а в n испытаниях если вероятность того что соб наступит в этих испыт ко раз превышает или покрайнемере не меньше вероятности остальных возможных исходов испытания

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например,   вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет

k раз, используют формулу Пуассона:   – среднее число появлений события в n испытаниях. Эта формула дает удовлетворительное приближение для p<=0,1 и np<=10. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

4. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа.

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью P, q=1-p.Обозначим как и раньше, через   вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. кроме того, пусть  – вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2. Локальная теорема Лапласа. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то   где   - функция Гаусса.

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью P, q=1-p.Обозначим как и раньше, через   вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. кроме того, пусть  – вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2. Интегральная теорема Лапласа. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то P(n; k1, k2)   где   - функция Лапласа.  Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:а)   б) при больших x верно   Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq>=9. Причем чем ближе значения q,p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли)

10.Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина и закон ее распределения Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами   Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина   , если указано конечное или счетное множество чисел   и каждому из этих чисел   поставлено в соответствие некоторое положительное число   , причем  Числа   называются возможными значениями случайной величины   , а числа   - вероятностями этих значений ( ). Таблица   называется законом распределения дискретной случайной величины   Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки   и соединяют последовательно отрезками прямых.