23. Распределение х2

Пусть имеется n независимых случайных величин Х1,Х2, ...,Xn, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная

величина x² = распределена по закону, который называется "распределение х²" («хи-квадрат»)

или «распределение Пирсона». Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные знач.

Число v=п называется числом степеней свободы.

Плотность вероятностей случайной переменной, имеющей распределение x² и v степеней свободы.

выражается формулой:

где Г(а)- гамма-функция.

Таким образом, распределение х,² зависит только от одного параметра - числа степеней свободы v. И чем больше v, тем более симметрично распределение x², хотя некоторая правая асимметрия присутствует всегда. При п > 1 график плотности распределения случайной величины x² представляет собой кривую, изображенную на рисунке

Математическое ожидание распределения х² равно М(Х) = v , дисперсия D(Х) = 2v , асимметрия и эксцесс соответственно равны: А(Х) = , Е(Х) = 12/v.

Отмстим, что если n —> , то распределение отношения стремится к нормированному нормальному закону распределения.

Для того чтобы определить вероятность попадания случайной величины x² в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения x².

24. Распределение Стьюдента.

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида

где Х и У-независимые св, причем Х- нормально распределенная случайная величина с параметрами М(Х) = 0 и D{Х) = 1, а У распределена по закону х² с v степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с r степенями свободы. Плотность вероятностей величины Стьюдента имеет вид:

График плотности распределения для закона Стьюдента.

Кривая f(х) симметрична относительно оси ординат и следовательно, M(t) = 0, а для больших значений очень близка к центрированной нормальной кривой. При малых r кривая f(х) значительно отличается от центрированной нормальной кривой -более медленно спускаясь к оси абсцисс.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы v по вероятности q определить значение t_q, для которого выполняется соотношение Р(|t| > t_q) = q.

25.Распределение Фишера.

Важные приложения имеет в статистике св

где X - случайная величина, распределенная по закону х² с v1 степенями свободы, а Y св, распределенная по закону х² с v2 степенями свободы.

Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с v1 степенями свободы. График плотности вероятностей распределения Фишера

При заданных числах v1 и v2 и по вероятности а по таблице Фишера определяется значение F_α такое, что Р(F > F_а) =а. Обычно таблицы составляются для значений а, равных 0.05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений.