МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА №41

КУРСОВАЯ РАБОТА (ПРОЕКТ)  ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ

РУКОВОДИТЕЛЬ

старший преподаватель				Н. А.  Соловьева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Построение поверхностей второго порядка

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ  ГР. №	4616				А. В. Павлов
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург 2018

СОДЕР

5  ОПИСАНИЕ ТЕСТОВОГО НАБОРА 9

6  ПРИМЕРЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ 10

ВЫВОД 12

ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 26

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для разработки курсового проекта была предоставлена задача: постройте 3D график поверхности заданной входными коэффициентами с помощью библиотеки Matplotlib. На вход дается 10 коэффициентов задающих уравнение поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Вся работа выполнена в Python 3.7, с помощью таких библиотек как: matplotlib для построение 3д графиков, numpy для математический расчетов, sympy для расчёта корней уравнения и PyQt5 для от рисовки графического интерфейса.

1 Математичская модель алгоритма

Для определения к какому типу графика относится уравнения, я буду использовать метод инвариантов. Инварианты - это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Рисунок 1 – Инварианты

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

Рисунок 2 – Семиинварианты

В случае, если I3 = 0, K4 = 0, семиинвариант K3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0 семиинвариант K2 = 0 будет также и инвариантом переноса.[1]

Если I3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Где

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ1, λ2, λ3 и K4/I3, определяется вид поверхности второго порядка.

Если числа λ1 λ2, λ3 одного знака, а K4/I3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.[2]

Если числа λ1 λ2, λ3 и K4/I3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

Если числа λ1 λ2, λ3, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K4/I3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Если два корня характеристического уравнения и K4/I3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Если λ1 и λ2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Если λ1 и λ2 одного знака, а K3/I2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.[3]

Если λ1, λ2 и K3/I2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Если λ1 и λ2 имеют один знак, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Если λ1 и λ2 имеют разные знаки, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Если K2 < 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

Если K2 > 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

Если K2 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости. .[1]

По типу полученной плоскости мы можем выбрать нужное нам каноническое уравнение

Рисунок 3 – Каноническое уравнение

После получение канонической формулы, мы создаем матрицу с числами, которые и будем поставлять в x и выражать через y. После полученных подсчётов мы будет рисовать график