МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА № 41

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

старший преподаватель				Н.Н. Григорьева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ОТЧЕТ О ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ №5

Исследование операций

по курсу: Исследование операций

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №	4616				А.В.Павлов
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург 2019

Цель работы: Решить предоставленный задачи

Вариант 7

1 Антагонистические матричные игры

1.1 Определите нижнюю и верхнюю цены, проверьте, имеет ли игра решение

в чистых стратегиях.

7	6	10
16	-6	-9
-3	5	14

1.2 Найдите решение в смешанных стратегиях матричной игры 2×2

аналитически и с использованием понятия равновесия по Нэшу

0,4	0,8
1,3	0,2

1.3 Проведите сокращение размерности игры до формата m×2 или 2× n и

найдите ее решение в смешанных стратегиях графическим методом.

Представьте оптимизированную игру в виде задачи линейного

программирования и проверьте правильность решения средствами MS Excel.

4	10	0
6	7	5
3	8	2
9	4	9
11	3	10

1.4 Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон

1	1	0
0	-1	2
-1	2	-4

2 Биматричные игры.

Решите биматричную игру графическим методом

6	2
8	1

4	1
0	7

Ход работы:

1.1

1 игрок выбирает стратегию для получения максимального выигрыш. 2 игрок выбирает стратегию чтобы уменьшить выигрыш 1 игрока

	B1	B2	B3	a=min(Ai)
A1	7	6	10	6
A2	16	-6	-9	-9
A3	-3	5	14	-3
b= min(Bi)	16	6	14

Тогда нижняя граница цены a = 6, а верхняя граница цены b=6. Т.к в игре с матрицей А a=b, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях. Т.е есть решение игры в чистых стратегиях.

1.2

Найдем аналитически оптимальную стратегию игрока А и соответствующую цену игры Х*(р1, р2), n

Решим систему уравнения получим v=0.64 , p1=0.73, p2=0.26, Т.е X(0.73,0.26),n=0.64

Стратегию А1 нарисуем на графике с координатами 1.3 и 0.2, 0.4 и 0.8.

Рисунок 1 – Геометрический рисунок

Найдем координаты точки пересечения трех линий. Решим систему уравнений

X=0.6, y =0.64. M(0.6,0.64), значит n=0.64, Y(1-0.6,0.6)

Значит ответ = X(0.73,0.26), Y(0.4,0.6), n= 0.64

1.3

Аналогично задачи 1.1 составляем таблицу

	B1	B2	B3	a=min(Ai)
A1	4	10	0	0
A2	6	7	5	5
A3	3	8	2	2
A4	9	4	9	4
A5	11	3	10	3
b=max(Bi)	11	10	10

Тогда нижная цена a=5, которая указывает на макс. Чистоту стратегии А2. Верхняя цена b=10. Т.к a не равно b, то отсуствует седловая точка, цена игры находится 5<=y<=10.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 меньше элементов столбца 1), следовательно, исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q1 = 0.

10	0
7	5
8	2
4	9
3	10

Решаем игру относительно игрока В, который придерживается максиминной стратегии. Верхняя граница выигрыша A2NA4. Максиминной оптимальной стратегии игрока B является точка N, между прямыми A2A2 и A4A4. Запишем для них систему

y = 7 + (5 - 7)q2

y = 4 + (9 - 4)q2

q1 = 0,57

q2 = 0,42

Цена игры, y = 6.14

Найдем минимаксную стратегию игрока , исключив оттуда А1,А3,А5, потому что она дает большой проигрыш игроку А, следовательно, p1 = 0,p3 = 0,p5 = 0.

7p2+4p4 = y

5p2+9p4 = y

p2+p4 = 1

p2=0.714

p4=0.28

Рисунок 2 – Задача номер 1.3

Ответ. Цена игры: y = 6,14, векторы стратегии игроков: P(0, 0.71, 0, 0.28, 0), Q(0.57, 0.42)

Решим задачу в Excel способом описанным в 1 практической работе.

Рисунок 3 – Настройка поиска

Рисунок 4 – Результат решения

1.4 Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон

	B1	B2	B3	a=min(Ai)
A1	1	1	0	0
A2	0	-1	2	-1
A3	-1	2	-4	-4
b=max(Bi)	1	2	2

Нижняя цена игры a=0, верхняя цена игры b=1. A не равно b значит нет седловой точки, цена игры находится в диапазоне 0 <= y <=1.

Итерация1

Минимальный элемент = 0 и находится под номером j=3. Следовательно, игрок 2 выбирает стратегию №3

Максимальный элемент = 2 и находится под номером j=2. Следовательно, игрок 1 выбирает стратегию №2

Остальные данные запишем в таблицу

K=номер партии, I= номер стратегии игрока А,J= номер стратегии игрокаB,Bi/Ai – накопленный игроком А/B выигрыш за k партий, при условии, что в данной партии B/A выбирает стратегию Bi/Ai. Vmin/Vmax- нижняя/верхняя оценка игры

K	I	B1	B2	B3	J	A1	A2	A3	vmin	vmax	vch
1	1	1	1	0	3	0	2	-4	0	2	1
2	2	1	0	2	2	1	1	-2	0	0.5	0.25
3	1	2	1	2	2	2	0	0	1/3	2/3	0.5
4	1	3	2	2	2	3	-1	2	0.5	0.75	0.625
5	1	4	3	2	3	3	1	-2	0.4	0.6	0.5

Цена игры = (vmin+vmax)/2, при k-> бесконечность.

Цена игры = 0.5

Стратегия игрока 1 p=(0.8,0.2,0)

Стратегии игрока 2 q=(0,0.6,0.4)

2 Биматричные игры.

Решите биматричную игру графическим методом

A B

6	2
8	1

4	1
0	7

Ищем ситуации равновесия

C = 6 - 2 - 8 + 1 = -3

α = 1 - 2 = -1

D = 4 - 1 - 0 + 7 = 10

β = 7 - 0 = 7

(p–1)(-3q+1) ≥ 0

p(-3q+1) ≥ 0

(q-1)(10p-7) ≥ 0

q(10p-7) ≥ 0

Получаем

p=1,q ≤ 1/3

p=0, q ≥ 1/3

0 ≤ p ≤ 1, q=1/3

q=1,p ≥ 0,7

q=0, p ≤ 0,7

0 ≤ q ≤ 1, p=0,7

P*=(0.7,0.3) Q*=(1/3,2/3)

Найдем цену игры

Смешная стратегия для 1 игрока P*(0.7,0.3), для 2 игрока Q*=(1/3,2/3) и выигрыш в равновесной ситуации =(10/3,14/5)

Рисунок 4 – Изображение результата

Вывод: В ходе практической работы мы изучили теорию игр. Решили антагонистические матричные, решили задачи смешанных стратегий, ознакомились с графическим методом решения задач, решили биматричные игры.