8.4. Тригонометрические функции
Ранее
мы получили формулы Эйлера 
(8.5)
которые верны для любого действительного .
Определим
функции cos z
и sin z для
любого комплексного z
по формулам Эйлера
(8.6)
Функции tg z и ctg z определим по формулам
(8.7)
Нетрудно проверить, что при таком определении тригонометрических функций останутся в силе многие их свойства.
Например:
Нетрудно проверить и справедливость других формул тригонометрии.
Сохраняются также свойства периодичности. Функции sin z и cos z имеют периоды 2. Функции tg z, ctg z сохраняют период .
Например, покажем это для sin z:
При этом мы воспользовались периодичностью функции .
Отметим
также свойство четности функции
и
нечетности остальных.
Однако
есть и отличия. Нельзя утверждать, что
и
.
Например:
.
Можно доказать, что sin z и cos z могут принимать любые комплексные значения.
Пример
Вычислить
.
Решение
.
Покажем
на примере
аналитичность тригонометрических
функций
и
:
;
Видим,
что условия Коши-Римана выполняются на
всей плоскости z,
поэтому функция
аналитическая
всюду на плоскости z.
То же самое можно сказать и о функции
.
8.5. Гиперболические функции
Гиперболические функции определяются равенствами
(8.8)
Это гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс и гиперболический котангенс соответственно.
Принимая во внимание соотношения для тригонометрических функций, заметим, что гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
, 
;
, 
;
, 
;
, 
.
Приведем доказательство первой формулы:
.
Эти формулы позволяют показать периодичность гиперболических функций и найти их периоды. Функции shz и chz имеют период 2, а thz и cthz – период .
Ряд формул, справедливых для тригонометрических функций, имеют свои аналоги для гиперболических функций. Например, аналогом основного тригонометрического тождества является следующее тождество:
.
Приведем другие соотношения для гиперболических функций, полезные при решении задач:
;
;
;
.
Доказательство нетрудно получить, опираясь на формулы, связывающие тригонометрические и гиперболические функции.
Производные гиперболических функций выражаются следующими формулами:
,
.
Покажем
аналитичность функции
на
всей плоскости z:
.
Отсюда
Проверяем условия аналитичности Коши-Римана
;
.
Условия
аналитичности выполняются на всей
плоскости z. То же
самое можно сказать и о функции
.
Пример
а) Найти sh i:
.
б) Найти ch (1-i):
.
8.6. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции
Обратные тригонометрические функции
определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим:
.
Обратные гиперболические функции
(ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический) определяются как функции, обратные по отношению к гиперболическим:
z = shw, z = chw, z = thw.
Тригонометрические и гиперболические функции выражаются через показательные, поэтому естественно ожидать, что обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции будут выражаться через логарифмы.
Найдем, например, выражение для функции w=Arcsin z.
По
определению имеем z= sin w,
или z = 
откуда получим 2iz
= eiw–
e–iw
и затем e2iw –
2izeiw – 1 =0.
Положив eiw = t, получим уравнение
,
его решение
Возвращаясь к прежней переменной, имеем
,
или
.
Итак, окончательно получим
.
Аналогично будем иметь
.
Основываясь на том же принципе, можно получить
.
Для обратных гиперболических функций получаем формулы
Из многозначности функции Ln z следует и многозначность обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.
Выделяя однозначную ветвь логарифма, можно получить однозначные функции в каждом случае.
Большого практического значения эти формулы не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и гиперболических функций можно использовать их определения, формулы связи их с показательной функцией, т.е. применять метод, с помощью которого выведены формулы для Arcsin z.
Пример
Найти
.
=
,
.