8.3. Степенная функция

После изучения логарифмической функции можем ввести понятие степени комплексного числа с любым показателем.

В силу определения логарифмической функции имеем

что справедливо для любого комплексного .

Для действительных a и x справедливо тождество

.

Будем считать справедливым аналогичное равенство для комплексных и z

. (8.4)

Так определяется степень комплексного числа с любым комплексным показателем.

В силу многозначности логарифма выражение (8.4) тоже многозначно. Для получения главного значения вместо подставляем в (8.4) .

Формула (8.4) определяет единственное значение величины только при целом действительном значении z.

Почему? В выражение для входит i2k:

,

и только если z – целое действительное число, получим в показателе член . Давая разные значения 0, … , будем получать совпадающие значения .

Например:

.

Пример

Вычислить .

Решение

.

Давая k разные значения, получим множество значений .

Главное значение .

Пример

Вычислить .

Решение

.

Теперь определим степенную функцию комплексной переменной, которая имеет вид

,

где n – целое положительное число.

Если , то . Для этой функции

.

Условия Коши-Римана для подобной формы записи имеют вид

.

Проверим их выполнение:

;

.

Нетрудно видеть, что эти условия выполняются на всей плоскости z, поэтому функция является аналитической на всей комплексной плоскости z.

Производная степенной функции . При , т.е. отображение с помощью степенной функции является всюду конформным, за исключением точки z=0.

Функция w =  обратная к функции z = wⁿ, n-значна при z ≠ 0. Значение корня определяется значением аргумента, выбранным для точки z. Обозначим через arg z₀ одно из значений аргумента в точке z₀ ≠ 0 и предположим, что точка z описывает, начиная с z₀, некоторую непрерывную линию С, не проходящую через начало координат. Через arg z мы будем обозначать такое значение аргумента, которое изменяется при этом непрерывно, начиная со значения arg z₀. В силу непрерывности arg z и значение w =  , которое вполне определяется сделанным выбором аргумента, также будет изменяться непрерывно.

П редположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку z = 0. Тогда при полном обходе С точкой z точка w =  , где – выбранное нами значение корня, описывает некоторую замкнутую кривую Г, возвращаясь к своему первоначальному положению, ибо при этом arg z возвращается к начальному значению arg z₀. Значения корня, определяемые другим выбором начального значения arg z₀ (отличающимся от прежнего на целое кратное 2π) при полном обходе С, очевидно, также описывают замкнутые кривые Г_к, отличающиеся от кривой Г лишь поворотом на угол k=1, …, n – 1 (рис. 8.2).

Пусть теперь – замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая точку z = 0 внутри себя, и z₀ – некоторая точка кривой . Тогда при полном обходе , начиная от z₀ в положительном направлении, соответствующая точка не возвращается в свое первоначальное положение, а занимает новое положение где – значение отличное от . Это объясняется тем, что arg z при обходе кривой получает приращение 2π. К своему начальному положению точка w =  возвращается лишь при n-кратном обходе кривой (см. рис. 8.2, пунктирная линия; здесь n = 3).

Отсюда следует, что в любой области D, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку z = 0, можно выделить n непрерывных и однозначных функций, принимающих каждая одно из значений . Эти n функций называются ветвями многозначной функции w =  ; их значения в каждой фиксированной точке отличаются друг от друга множителем Любая из построенных ветвей является в области D аналитической функцией, и

Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую кривую, обходящую точку z = 0, то в такой области ветви функции нельзя отделить друг от друга. Именно, если в окрестности некоторой точки z ≠ 0 из D мы выделим какую-либо ветвь, то, двигаясь по кривой, обходящей z = 0, придем к другой ветви. Следовательно, в такой области D мы не сможем подобно предыдущему случаю рассматривать функцию как совокупность отдельных (однозначных) аналитических функций.

Точка z = 0, в любой окрестности которой нельзя отделить n отдельных ветвей функции (ветви как бы соединяются в этой точке), называется точкой ветвления этой функции.

В качестве примера области D первого типа можно рассматривать плоскость z с вырезанной линией L, идущей от точки z = 0 в бесконечность. Если L совпадает с положительной полуосью, то ветви функции отображают область D на секторы

< arg w < (k+1)

Область D заведомо является областью второго типа, если она содержит точку z = 0 внутри себя.