6. Гармонические функции

Пусть функция w = f(z) = u(x,y) + iv(x, y) аналитическая в области D. Тогда она удовлетворяет условиям Коши-Римана

Дифференцируя первое из этих равенств по x, а второе – по y и складывая, получим

Дифференцируя же первое из этих равенств по y, а второе – по x и вычитая, будем иметь

Полученный результат говорит о том, что функции u(x, y) и v(x, y), являющиеся соответственно действительной и мнимой частями функции w = f(z), аналитической в некоторой области D, в той же области являются решениями дифференциального уравнения в частных производных:

Это уравнение называется уравнением Лапласа.

Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической функцией. Следовательно, действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Однако если u(x, y) и v(x, y) являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция u(x, y) + iv(x, y), вообще говоря, не будет аналитической функцией, так как условия Коши-Римана не всегда будут выполняться.

Аналитическую функцию f(z) = u(x, y) + iv(x, y) мы получим, если, произвольно задав одну из двух гармонических функций u(x, y) или v(x, y), подберем другую так, чтобы выполнялись условия Коши-Римана

т.е. определим другую из этих функций по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Как известно из математического анализа, по полному дифференциалу функция определяется с точностью до постоянного слагаемого. Следовательно, аналитическая функция с точностью до постоянного слагаемого определяется своей действительной или мнимой частью.

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана и, следовательно, являющиеся действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y), называются сопряженной парой гармонических функций.

Пример 1

Найти аналитическую функцию w=f(z)=u+iv, если и f(0) = 1.

Используя первое условие Коши-Римана, имеем

отсюда

Для нахождения φ(y) используем второе условие Коши-Римана

В результате получим

–e^-ycosx + φ′(y)= –(e^-ycosx),

откуда φ′(y) = 0 или φ(y) = c.

Тогда ,

и

Так как f(0) = 1, то e^io + 0 + c = 1, откуда с = 0. Окончательно получим w = f(z) = e^iz + z.

Пример 2

Найти аналитическую функцию w = f(z) = u + iv, если u =  и f(2) = 

Используя первое условие Коши-Римана, имеем

Отсюда

= =

=

Для нахождения φ(x) используем второе условие Коши-Римана

В результате получим

откуда φ′(x) = 0 или φ(x) = c.

Тогда

а

Так как f(2)= , то откуда с = 0.

Окончательно получим w = f(z) = 

7. Геометрический смысл аргумента

И модуля производной.

Конформное отображение

(Conformis – подобный, сообразный)

Пусть дана функция , аналитичная в G, и пусть .

Всякую кривую плоскости z функция отображает в кривую плоскости .

Р и с. 7.1

Точка соответствует точке . Давая приращение z, получим точку . Проведем секущие ММ₁ и NN₁ (рис. 7.1).

Очевидно

 = argz;

 = argw.

Рассмотрим

.

Пусть z0, тогда в пределе секущие станут касательными к кривым в точках и . Углы наклона этих касательных ₁ и ₁.

. (7.1)

Из этого выражения следует, что аргумент производной функции (z) в точке представляет собой угол поворота касательной к кривой в точке при отображении этой кривой на плоскость w с помощью функции (z). Это и есть геометрический смысл аргумента производной (z).

Рассмотрим другую кривую . Она отображается в кривую .

Для них очевидно следующее соотношение:

arg (z₀) = ₂  ₂ . (7.2)

Приравниваем (7.1) и (7.2):

₂  ₂ = ₁  ₁

или

₂  ₁ = ₂  ₁ . (7.3)

*Это означает, что углы между кривыми и и между кривыми и при отображении с помощью аналитической функции останутся неизменными.

Замечание. При (z₀) = 0 аргумент определить невозможно, поэтому и было выдвинуто требование (z₀)  0.

Выясним теперь геометрический смысл модуля производной (z):

. (7.4)

Отсюда видно, что модуль производной характеризует растяжение бесконечно малых векторов, выходящих из точки z₀ при отображении с помощью функции (z).

Рассмотрев соотношение, подобное (7.4), на кривой и увидим, что растяжение одинаково по всем направлениям.

** Коэффициент растяжения будет равен модулю производной.

Это будет геометрическим смыслом модуля производной. Объединив положения * и **, получим, что бесконечно малая окрестность точки z₀ при отображении с помощью аналитической функции (z) переходит в бесконечно малую окрестность точки . При этом радиус окрестности изменяется в раз, а все векторы, выходящие из точки z₀, поворачиваются на угол arg (z₀).

Таким образом, имеет место преобразование подобия и поворота. Такое отображение называется конформным. Всякая аналитическая функция осуществляет конформное преобразование.

Конформные преобразования используются при решении задач математической физики, электромеханики и т.п.

Пример

Найти коэффициент растяжения и угол поворота линий, осуществляемого функцией w = z³ при отображении в точке z₀ =2i.

Решение

Находим производную w = 3z² и ее значение в точке z₀ = 2i  w(2i)=3(2i)² = -12. Записав это число в тригонометрической форме

w(2i) = -12 = 12(cos +isin),

получим – коэффициент растяжения; – угол поворота.