5. Производная функции комплексного переменного

Пусть определена и непрерывна в некоторой области G. Дадим приращение тогда функция получит приращение .

Предел называется производной функции в точке z.

Для существования производной необходимо, чтобы этот предел существовал и не зависел от способа стремления .

Если функция однозначна и дифференцируема (т.е. имеет производные) в некоторой окрестности точки , то она называется аналитической, или регулярной, или голоморфной в этой точке. (Если функция аналитична в каждой точке некоторой области, то она аналитична в этой области).

Все правила дифференцирования функции комплексного переменного совпадают с правилами дифференцирования функции действительных переменных.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, что связано с большими ограничениями, накладываемыми на условия существования производной функции комплексного переменного.

Одно из таких требований  это независимость предела от способа стремления (рис. 5.1).

Р и с. 5.1

Дадим необходимые и достаточные условия существования производной функции , т.е. условия аналитичности функции в точке z = z₀.

Теорема. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Пусть функция такова, что функции имеют непрерывные частные производные, тогда необходимыми и достаточными условиями аналитичности являются

и .

Это и есть условия Коши-Римана (или Даламбера-Эйлера) аналитичности функции.

Доказательство

1. Необходимость.

Пусть функция  аналитическая. Это означает, что она однозначна и дифференцируема, т.е. существует производная , которая определяется так:

.

Этот предел не должен зависеть от способа стремления , поэтому мы выбираем следующие способы:

а

) (рис. 5.2):

Р и с. 5.2

; (5.1)

б

) (рис. 5.3):

Р и с. 5.3

. (5.2)

Выражения (5.1) и (5.2) есть производные одной и той же функции. Приравниваем их:

.

Приравнивая действительные и мнимые части, получим условия аналитичности функции.

2. Достаточность.

Пусть дано .

Докажем, что функция аналитическая, т.е. имеет производную

– функции действительных переменных x и y, поэтому для приращения будут справедливы соответствующие формулы дифференциального исчисления функции двух переменных

Используя условия аналитичности Коши-Римана, получим

. (5.3)

Видим, что при выполнении условия аналитичности функции существует и не зависит от способа стремления .

Таким образом, теорема доказана.

Пример

Установить аналитичность функции .

Решение

,

т.е.

для х

для у

Значит, функция аналитична на всей комплексной плоскости z.

Используя условия аналитичности функции Коши -Римана, можно записать следующие соотношения:

(5.4)

В тригонометрической форме функция зависит от модуля r и аргумента :

.

Для аналитичности этой функции нужно, чтобы имели частные производные по r и , а условия Коши-Римана выглядели так:

.

Замечание. При доказательстве теоремы мы пришли к формуле (5.3), а затем, исходя из условий Коши-Римана, получили формулы (5.4). Эти соотношения показывают, что дифференцирование функции по комплексному аргументу равносильно вычислению частных производных по x от (или другие соотношения из (5.4)).

Например: , тогда .

В то же время и , отсюда