3. Области на комплексной плоскости

Пусть дана точка z₀. Проведем из этой точки как из центра окружность радиуса . Множество точек (комплексных чисел) z, попавших в этот круг, составит -окрестность точки z₀ (рис. 3.1):

.

Множество точек z, удовлетворяющих неравенству , образует проколотую окрестность точки z₀: О_ε(z₀)\z₀ .

Множество точек z, удовлетворяющих неравенству > R, образует окрестность бесконечно удаленной точки (см. рис. 3.1).

Рассмотрим теперь множество точек z комплексной плоскости, обозначенное D и удовлетворяющее следующим условиям:

1. для каждой точки z существует -окрестность, целиком входящая в D (открытость);

2. две любые точки D можно соединить линией, целиком содержащейся в D (связность).

Точка имеет -окрестность, целиком входящую в D.

Точка не имеет -окрестность, целиком входящую в D. Это граничная точка.

Точки и можно соединить линией L, целиком лежащей в D.

Такое множество D называют областью D на комплексной плоскости (рис. 3.2).

М ы видели, что существуют точки типа , которые не принадлежат области, но в любой их окрестности содержатся точки области. Эти точки называются граничными и в совокупности образуют границу области.

Если к области D присоединить границу, то получим замкнутую область .

Ясно, что граница области может состоять из одной и нескольких отдельных частей, в связи с чем возникает понятие связности области.

Определение связности дадим следующим образом.

Область называют односвязной, если любой замкнутый контур в ней можно стянуть в точку, не пересекая границы области.

В противном случае область называется многосвязной (рис. 3.3).

Число связных частей, на которые разбивается граница области, называется порядком связности.

Пример

На рис. 3.4 приведена четырехсвязная область. Показаны 3 кусочно-гладких кривых и точка Т (точка тоже может входить в границу области).

З а положительное направление обхода области примем такое направление, при котором область остается слева.

Е сли вся область D лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то D является ограниченной областью.

Примеры

Построить области.

1. .

Неограниченная область (рис. 3.5).

2 .

Это замкнутая, ограниченная,

односвязная область (рис. 3.6).

3 . .

Открытая, ограниченная,

односвязная область (рис. 3.7).

4.

Незамкнутая, неоткрытая,

(внутри граница присоединена),

ограниченная, двусвязная (рис. 3.8).

5.

Замкнутая, неограниченная,

односвязная (рис. 3.9).

4. Функции комплексного переменного

На множестве А комплексной плоскости z задана функция комплексного переменного z, если задано правило, по которому каждому значению z множества А ставится в соответствие одно или несколько комплексных чисел w множества В.

Символически

А – множество определения функции, это область или замкнутая область.

Множество В чисел w является множеством значений функции.

Если обозначить

то задание w = равносильно заданию двух функций и , в которых переменными являются действительные числа x и y:

.

Геометрически задание функции означает, что установлен закон, по которому каждой точке области А комплексной плоскости z ставится в соответствие некоторая точка области В комплексной плоскости w.

О тображение называется функцией комплексной переменной, если и (рис. 4.1).

Интересно рассмотреть, как отображается кривая (например граница области) на плоскость w.

Р и с. 4.1

На плоскости z линия может быть задана параметрически:

или

Это и будут параметрические уравнения отображения линии.

Пример

Найти отображение прямых, параллельных оси 0y, функцией

Решение

.

Так отобразится любая линия.

В нашем случае

Здесь у является параметром. Освобождаясь от него, получим

Это семейство парабол (рис. 4.2).

Пусть функция f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀, кроме, быть может, самой точки z₀.

Будем говорить, что существует предел функции f(z) при , если существуют пределы

при этом будем полагать

Так как это определение сводится к обычному определению предела действительных функций, то основные свойства предельного перехода сохраняются для функций комплексного переменного. В частности, имеем

;

;

.

Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности:

;

,

и ли для всех точек из δ-окрестности (кроме, быть может, самой ) соответствующие точки w лежат в ε-окрестности w₀ (рис. 4.3).

Подчеркнем, что согласно определению функция f(z) стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки к . Иными словами, если предел существует, то при , стремящемся к , по любому закону (например по любой линии или любой последовательности) f(z) будет приближаться к этому пределу.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности (включая саму точку ) и

Очевидно, что для непрерывности f(z) в точке необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывными в точке (x₀, y₀). Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.