18. Примеры разложения функции в ряд лорана

Рассмотрим различные разложения в ряд Лорана функции

, выбрав а = 0.

Функция f (z) имеет две особые точки: z = 1 и z = 2. Следовательно, имеется три круговых кольца с центром в точке z = 0, в каждом из которых функция аналитическая (рис. 18.1):

1) круг (I)

2) кольцо ; (II)

3)внешность круга . (III)

Получим разложение в ряд Лорана в каждой из областей, не прибегая к вычислению коэффициентов.

1. Разложение в круге (см. рис. 18.1).

Представим f (z) в виде суммы двух элементарных дробей:

.

Преобразуем каждую из дробей в форму суммы геометрической прогрессии:

. (18.1)

Этот ряд сходится, так как .

. (18.2)

Этот ряд сходится, так как мы рассматриваем , и тогда

Складываем (18.1) и (18.2), получим

.

Таким образом, имеем

, n = 0,1,2… ;

С_-n = 0, n = 1,2… .

Итак, полученное разложение является рядом Тейлора.

2. Разложение в кольце (см. рис. 18.1).

Ряд (18.2) останется сходящимся, так как для него , но ряд (18.1) будет расходиться, так как , поэтому разложение (18.1) придется заменить:

. (18.3)

В кольце этот ряд сходится, так как , .

Сложим (18.2) и (18.3) и получим требуемое:

(18.4)

Таким образом, имеем , n = 0, 1, 2… ;

С_-n = -1, n = 1, 2.

3. Разложение в области (см. рис. 18.1).

Разложение (18.3) сохранится, так как если , то тем более , но разложение (18.2) нужно заменить следующим:

. (18.5)

Сложим теперь (18.3) и (18.5) и получим следующее разложение:

. (18.6)

Таким образом, 0, n = 0, 1, 2…;

С_-n=2^n-1 – 1, n = -1, -2… .

4. Выберем а=1 (рис. 18.2).

В круге f(z) аналитична, а на границе имеет особые точки.

1. Разложение в круге .

(как в предыдущем примере).

Раскладываем по (z – 1), поэтому уже есть член разложения.

Займемся второй дробью .

.

Ряд, стоящий справа, сходится, так как . Тогда разложение f(z) будет

.

Здесь -1, n = 0, 1, 2… ;

С_-n = -1, С_-2 = С_-3 =…= С_-n = 0.

2. Разложение в области .

В этой области

.

Ряд справа сходится, так как , значит, . Тогда

Здесь 0, n = 0, 1, 2… ;

С_-1=0, , С_-2= С_-3 =…= С_-n = 1.

19. Изолированные особые точки аналитической функции

Особая точка z = а функции f(z) называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки функция f(z) не имеет других особых точек.

Иными словами, если функция f(z) аналитична всюду в некоторой окрестности, точки z= а кроме самой точки а.

Примеры

1. .

Точка z = -i – изолированная особая точка.

2. .

f(z) – аналитична всюду за исключением точки z = 0 и тех, где , т.е. точек .

Точки – изолированные особые точки. z = 0 не является изолированной, так как в достаточно малой окрестности точки 0 функция f(z) не определена.

В окрестности изолированной особой точки функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана в кольце < R (рис. 19.1):

При таком разложении возможны три существенно различных случая.

1. Лорановское разложение не содержит главной части:

.

Тогда особая точка называется устранимой.

Для устранимой точки

. (19.1)

Теперь, если положить , то f(z) станет аналитической в точке .

Пример

;

. ;

f(0)=1.

Доопределим функцию f(z):

Теперь она аналитическая.

Справедливо и обратное: если существует (19.1), то лорановское разложение состоит из одной правильной части.

2. Лорановское разложение содержит в главной части лишь конечное число слагаемых:

Тогда особая точка называется полюсом, а число m будет порядком полюса, или его кратностью.

Если m = 1, т.е. в главной части один член разложения, то имеем простой полюс.

Справедливо и обратное: если то лорановское разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Очевидно, что вместо f(z) можно рассматривать функцию где аналитична в точке а и

Действительно, но

Вспомним, что точка а является нулем порядка m функции f(z), если f(z)=ψ(z)(z–a)^m, где ψ(а) ≠ 0. Приведем две теоремы, позволяющие определить порядок полюса.

Теорема 1. Для того чтобы точка а была полюсом порядка m функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка m функции

Теорема 2. Если точка а является нулем порядка k функции f₁(z) и нулем порядка m функции f₂(z) (m>k), то она – полюс порядка (m – k) для

3. Лорановское разложение содержит в главной части бесконечное число членов. Эта точка называется существенно особой:

В этом случае – не существует.

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеет место следующая теорема.

Т еорема Сохоцкого. Если а – существенно особая точка функции f(z), то для всякого существует последовательность , сходящаяся к точке а, такая, что