16. Ряд тейлора

П усть w = f(z) – аналитическая в точке а, а значит, и в некоторой ее ε-окрестности (рис. 16.1).

Рассмотрим контур Г ε-окрестности точки а. Пусть Г = С_R(a) и ограничивает область D. Пусть Г, z D.

Запишем интеграл Коши для функции f(z):

f(z) = 

Рассмотрим дробь входящую в интеграл Коши, и преобразуем ее:

Полученное выражение может представлять сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( <1):

b₁ + b₂q + b₁q² + … + b₁q^n-1 + … = 

В данном случае b₁ =  а q =  Оценим q =  по модулю:

< 1, так < (см. рис. 16.1),

поэтому

равномерно сходящийся ряд в области D.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по контуру Г, убедившись в равномерной сходимости:

.

Учитывая интегральные формулы Коши для функции и производных, получим ряд Тейлора в виде

. (16.1)

Ряд Тейлора представляет аналитическую функцию f(z) в любом круге с центром в точке а, если в этом круге f(z) аналитична.

Замечания

1. Величина радиуса сходимости ряда Тейлора определяется расстоянием от точки а до ближайшей точки, где f(z) неаналитична.

2. Любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы (теорема единственности разложения в ряд Тейлора).

Разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора:

1)

2)

3)

4)

5)

6) <1;

7) <1.

Ряды 1-5 имеют R = ∞.

Пример 1

Разложить в ряд Тейлора по степеням двучлена функцию f(z)=ch(1-z).

Решение

Находим

f(z)= ch(1-z); ;

; ;

; ;

; ;

…………………………………………..

.

Пример 2

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функции

.

Решение

Можно пойти стандартным путем нахождения производных и так далее, но можно поступить иначе.

Разложим функцию на простейшие дроби:

Используя разложение , получим

.

Ближайшей к точке особой точкой данной функции является точка z =1, поэтому радиус сходимости полученного ряда R = 1.

17. Ряд лорана

Часто приходится рассматривать функции аналитические в некоторой окрестности точки а всюду, кроме самой этой точки. Ряд Тейлора здесь записать нельзя. Нужно рассматривать функции аналитические в замкнутом кольце – области D. Рассмотрим точку Z D и применим формулу Коши

Пути интегрирования С₁ и С₂ проходят оба против часовой стрелки. В первом интеграле точка лежит на окружности С₁.

Соотношение , поэтому можно записать

ряд равномерно сходящийся. Его можно интегрировать. Мы поступим так. Умножим его на и проинтегрируем вдоль С₁, получим

, где .

Заметим, что здесь нельзя записать , так как f(z) не предполагается

аналитической в точке а. Теперь рассмотрим второй интеграл. Он вычисляется по контуру С₂. Предполагается, что находится на этом контуре, тогда имеем (рис. 17.1)

;

Этот ряд равномерно сходится на С₂.

Умножим на и проинтегрируем вдоль С₂. Получим

, где .

Заменив на , получим

,

где , n=-1; -2; -3... .

Теперь можем объединить ряды для f₁ и f₂. Получаем ряд

, (17.1)

называемый рядом Лорана, где

. (17.2)

Таким образом, в любом кольце , где f(z) аналитическая, ее можно представить своим рядом Лорана (17.1), где C_n определяется формулой (17.2), в которой Г – произвольная кривая, лежащая в рассматриваемом кольце и обходящая точку z = a один раз.

Выражение для f ₁(z) называется правильной частью ряда Лорана, а f ₂(z) – главной частью.

Нетрудно видеть, что правильная часть сходится при (по теореме Абеля, так как сходится в точках границы кольца С₁). Главная часть есть степенной ряд относительно переменной , он сходится при . Таким образом, ряд Лорана будет сходиться в кольце .

Заметим, что сходимость ряда Лорана является абсолютной и равномерной в любой замкнутой области, расположенной внутри указанного кольца.

Подобно разложению Тейлора для аналитической функции, разложение в ряд Лорана есть единственно возможное для данной функции f (z) в заданном круговом кольце.

Допустим, что во всех внутренних точках z кольца имеют место два разложения

.

Умножим оба разложения на и интегрируем вдоль произвольной окружности с центом в точке а. Получим

или .

Пояснение. Мы знаем, что

Поэтому, умножив на заведомо после интегрирования, обнулим интегралы, и останется только один интеграл, не равный нулю для n=k.

Во многих случаях разложение в ряд Лорана можно сделать без использования общих формул, а представляя f (z) в виде суммы или произведения функций:

f (z)= f ₁(z)+ f ₂(z) или f (z)= f ₁(z)·f ₂(z),

где f ₁(z) – аналитическая при ; – аналитическая при > r.