М.А. ЕВДОКИМОВ, Л.Г. ВОЛКОВА

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

МАТЕМАТИКА – 12

Самара

Самарский государственный технический университет

2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

М.А. ЕВДОКИМОВ, Л.Г. ВОЛКОВА

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

МАТЕМАТИКА – 12

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Самара

Самарский государственный технический университет

2008

УДК 51

Е 15

Рецензент: д-р физ.-мат. наук А.И.Жданов

Евдокимов М.А.

Е 15 Теория функций комплексного переменного. Математика-12: учеб.пособ. / М.А.Евдокимов, Л.Г.Волкова. – Самара. Самар. гос. техн. ун-т, 2008. – 86 с.: ил.

ISBN 978-5-7964-1102-5

Продолжает серию учебников по высшей математике, издаваемых на кафедре высшей математики и прикладной информатики. Предназначено для студентов, которые изучают раздел математики, посвященный теории функций комплексного переменного, и преподавателей, ведущих занятия по данной теме.

УДК 51

Е 15

ISBN 978-5-7964-1102-5 © М.А. Евдокимов, Л.Г. Волкова, 2008

© Самарский государственный

технический университет, 2008

1. Комплексные числа

Известно, что не на любом числовом множестве выполнима любая алгебраическая операция. Так, на множестве (целые числа) невыполнима операция деления (например ), но множество Q (рациональные числа), и на множестве Q операция выполнима. Однако на Q невыполнима операция извлечения корня (например Q). Множество Q R (действительные числа), но на множестве R операция извлечения корня также невыполнима, например, не имеет решений уравнение x² + 1 = 0. Множество комплексных чисел вводится как расширение множества R таким образом, чтобы на нем эта операция была выполнима, т.е. чтобы было определено число, квадрат которого равен –1, и, следовательно, существовало решение простого уравнения x² + 1 = 0.

Комплексным числом называется выражение вида

где .

При этом – действительная часть комплексного числа z;

– мнимая часть; i – мнимая единица.

Тогда

z = x + yi = Re z + i Im z.

Если x = Re z = 0, то z = yi = Im z i – чисто мнимое число.

Е сли y = Im z = 0, то z = x = Re z – действительное число.

Множество комплексных чисел обозначается , очевидно, R . В дальнейшем комплексные числа будут представляться в различных формах.

Вид комплексного числа называется его алгебраической формой. Комплексное число называется сопряженным по отношению к числу .

Определим для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следующие понятия:

1) z = 0 x = Re z = 0 y = Im z = 0;

2) z₁ = z₂ Re z₁ = Re z₂ Im z₁ = Im z₂.

Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определены.

Действия над комплексными числами вводятся так, чтобы оставались в силе обычные законы алгебры.

1. Сложение (вычитание):

(x₁ + y₁i) ± (x₂ + y₂i) = (x₁ ± x₂) + (y₁ ± y₂)i.

2. Умножение:

(x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i) = (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i.

Заметим, что при сложении и умножении сопряженных чисел всегда получаются действительные числа:

(x + yi) + (x – yi) = 2x;

(x + yi)(x – yi) = x² + y².

Последний результат используется для того, чтобы ввести деление комплексных чисел.

3. Деление:

.

4. Возведение в натуральную степень:

Примеры

1. (5 + 6i) + (1 – 2i) = 6 + 4i.

2. (2 – 3i) – (4 – 8i) = –2 + 5i.

3. (3 – i)(6 + i) = 18 + 3i – 6i + 1 = 19 – 3i.

Комплексные числа, заданные в алгебраической форме, можно умножать по правилу умножения двучленов с учетом i · i = –1.

4. .

5. (2 + 2i)⁸ = ((2 + 2i)²)⁴ = (4 + 8i – 4)⁴ = (8i)⁴ = 8⁴ = 2¹².

Полезно знать степени мнимой единицы i:

i1 = i	i5 = i	i4m+1 = i
i2 = -1	i6 = -1	i4m+2 =  -1
i3 = -i	i7 = – i	i4m+3 = -i
i4 = 1	i8 = 1	i4m = 1

Для записи комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах рассмотрим их геометрические интерпретации.

Каждое комплексное число z = x + yi сопоставим с точкой на плоскости x0y с координатами М(x,y), где абсцисса x = Re z; ордината y = Im z. Соединив начало координат с точкой М, рассмотрим радиус-вектор .

Т аким образом, комплексное число z = x+yi может изображаться точкой М(x, y) или вектором (x, y) (рис. 1.1).

М ежду множеством точек плоскости х0у и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие; плоскость х0у при этом называется комплексной плоскостью (плоскость z).

П римеры

Построить на комплексной плоскости z₁ = 1 + i; z₂ = 1 – i; z₃ = –2i; z₄ = 2i; z₅ = 4; z₆ = –2; z₇ = –4 – 2i; z₈ = –2 + 4i.

Р ешение приведено на рис. 1.2.

Введем на множестве понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Рассмотрим плоскость z и сферу S, касающуюся своим южным полюсом S ее в начале координат (рис. 1.3).

Лучи, соединяющие точки плоскости z с точкой N – северным полюсом сферы, пересекают сферу в точках Z S. При этом любой точке z соответствует единственная точка Z, и наоборот. Чем дальше точка z расположена от начала координат 0, тем ближе ее образ Z S к точке N. Чтобы соответствие было полным, вводится «несобственный» элемент (символ ∞), бесконечно удаленная точка как точка плоскости, образом которой на S является точка N. Построенное взаимно однозначное соответствие точки сферы и точек плоскости z называется стереографической проекцией, а сфера S – сферой Римана.

В полярных координатах положения точек М и радиуса-вектора определяются полярным радиусом r и полярным углом φ: М(r, φ), (r, φ).

М одулем комплексного числа называется полярный радиус r, длина вектора :

Аргументом комплексного числа называется полярный угол φ, образованный вектором с положительным направлением оси ОХ:

.

В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно

аргумент определен для z ≠ 0 и лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2 :

В дальнейшем наряду с символом Arg, обозначающим всю совокупность значений аргумента, употребляется символ arg, обозначающий одно какое-либо значение Arg (в случае надобности специально оговаривается, какое именно значение берется). При этом arg z называется главным значением аргумента, или – π < arg z ≤ π , или 0 ≤ arg z < 2π.

Тогда Arg z = arg z + 2πk, k Z.

П ри отыскании главного значения arg z удобно пользоваться схемой, приведённой на рис. 1.4.

Используя связь декартовых и полярных координат точек М , (см. рис. 1.1), из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму:

.

Записав маклореновские разложения функций

и положив , получим

Полученная формула

называется формулой Эйлера.

С учетом этой формулы

.

Форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Примеры

Записать комплексные числа, заданные в алгебраической форме, в тригонометрической и показательной формах.

Н а рис. 1.5 эти числа представлены графически.

1.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.

Во всех рассмотренных примерах использовалось главное значение аргумента.

Условие равенства комплексных чисел, заданных в тригонометрической и показательной формах, получим, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа.

Так, для чисел z₁ = r₁(cos φ₁+ i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂+ i sin φ₂) из условия z₁ = z₂ очевидно следует

r₁ = r₂; φ₁ – φ₂ = 2kπ, k Z

или , Arg z₁ – Arg z₂ = 2kπ, k Z.

Для пары сопряженных комплексных чисел z и справедливы следующие равенства:

,

Над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной формах, можно производить следующие действия.

1.Умножение. Зададим z₁ = r₁(cosφ₁ + i sinφ₁) и z₂= r₂(cosφ₂ + i sinφ₂) и перемножим по правилу умножения двучленов:

z₁·z₂=r₁·r₂ ((cosφ₁ cosφ₂–sin φ₁ sinφ₂)+i(sinφ₁ cosφ₂+cosφ₁ sinφ₂)) = = r₁·r₂ (cos(φ₁+ φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)).

Если и , то получаем тот же результат:

т.е. при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление. Аналогично можно показать, что

т.е. при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в натуральную степень. Найдем zⁿ, если

z = r(cos φ + i sin φ) = re^iφ.

Применяем формулу zⁿ = = rⁿ(cos nφ + i sin n φ) = rⁿe^inφ, т.е. при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Рассмотрим комплексное число с модулем, равным 1, и аргументом φ в тригонометрической форме (cos φ + i sinφ) и возведем его в n степень:

(cosφ + i sinφ)ⁿ = cosn φ + i sinn φ.

Полученное равенство носит название формулы Муавра. С помощью формулы Муавра можно найти формулы для синусов и косинусов кратных аргументов: sin2 , cos2 , sin3 , cos3 , … .

Например:

(cosφ + i sin φ)² = cos2 + i sin2 ,

отсюда cos²φ – sin²φ + 2cosφ sin φi = cos2φ + i sin2φ.

На основании равенства комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, получаем

cos²φ – sin²φ = cos 2φ;

2cos φ sin φ = sin 2φ.

4. Извлечение корня. Зададим z = re^iφ и поставим задачу найти w = ρe^iθ такое, что w =  Тогда z = wⁿ, или

re^iφ = ρⁿe^inθ.

Из условия равенства комплексных чисел в показательной форме имеем

ρⁿ = r;

nθ = φ + 2πk, k Z,

или ρ = θ =  k = 0, …, n – 1.

Таким образом,

, k = 0, …, n – 1.

Очевидно, что принимает только n различных значений w_n. Все эти комплексные числа имеют один и тот же модуль и, значит, лежат на окружности этого радиуса, в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность, при условии, что первая вершина w₁, полученная при k = 0, будет иметь аргумент а каждое последующее значение w_k+1 может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на

Примеры

1. Вычислить .

Представим в показательной форме.

Найдем: .

Тогда z = 2 , отсюда

z⁶ =(2 )⁶ = 2⁶e^–2πi = 64(cos(–2π) + sin(–2π)i) = 64.

2. Решить уравнение: z⁶ + 1 = 0.

Задача сводится к нахождению z = .

Запишем –1 в показательной форме: –1=е^πi.

Тогда z_k = , где k = 

При k = 0 получаем

при k = 1

при k = 2

при k = 3

при k = 4

при k = 5

На рис. 1.6 приведены полученные решения заданного уравнения.