1. Построить многоугольник решений.

Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми  ; ( ; х₁ = 0; х₂ = 0). В том случае, если система неравенств (2) – (3) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью допустимых значений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.     Строим многоугольник решений (рис.1):  ;  ;  ; 

2. Найти координаты вершин области.

Для этого решаем систему уравнений для пересекающихся прямых

• Для точки А:

, значит координаты вершины А(0;7);

• Для точки С:

, значит координаты вершины С(8;3);

• Для точки Д:

, значит координаты вершины Д(3;0)

• Координаты точки О(0;0) совпадают с началом координат.

3. Построить вектор и (у нас это z0 ).

Целевая функция   определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значений Z. В нашем случае с₁=1, с₂=4, т.к.  Вектор   с координатами с₁=1, с₂=4 и выходящий из начала координат, перпендикулярный к этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а противоположный вектор – направление убывания Z Строим прямую  ,   (рис.3)

4. Находим и .

Если в одной и той же системе координат изобразить область допустимых решений системы неравенств   ;   и семейство параллельных прямых  , то задача определения максимума функции Z сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Z = const, и которая соответствует наибольшему значению параметра Z. Для определения   построим линию уровня   перпендикулярную вектору  ,  и будем передвигать ее в направлении вектора   до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты этой точки точки и определяет  . Для определения   построим линию уровня перпендикулярную вектору  ,  и будем передвигать ее против направления вектора   до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты этой точки точки и определяет  . Из рисунка 4 видно, что   находится в точке А(0;7), а   в точке О(0;0). Чтобы найти значение   подставим координаты точки А в целевую функцию:  ; Чтобы найти значение   подставим координаты точки О в целевую функцию: Ответ:  .

13) стемой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j– номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы  , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например,  . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например,  , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называетсянесовместной.

14) Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан советским математиком Канторовичем Л. В. в 1937 году.

Содержание   [убрать]  1 Описание 2 Алгоритм симплекс-метода 2.1 Усиленная постановка задачи 2.2 Алгоритм 3 Двухфазный симплекс-метод 3.1 Причины использования 3.2 Модификация ограничений 3.2.1 Различия между дополнительными и вспомогательными переменными 3.3 Фазы решения 4 Модифицированный симплекс-метод 5 Мультипликативный вариант симплекс-метода 6 Другие варианты симплекс-метода 7 Двойственный симплекс-метод 8 Вычислительная эффективность 9 Примечания 10 Литература 11 Ссылки