Производная параметрически и неявно заданных функций
Пусть x = (t),y = (t), t [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, t [0,2]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.
В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = '(t)dt, dx = '(t)dt. Поэтому y'(x) = '(t)/'(t). Используя формулу для второго дифференциала, получим
y(2)(x) = d(y'(x))/dx = ( '(t)/ '(t))'dt/ '(t)dt =
= ( ''(t) '(t)- ''(t) '(t))/( '(t))3.
Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде
y'''(x) = d(y''(x))/dx.
Пример. Функция задана параметрически x = a(t-sin t), y = a(1-cos t).
Наити y''(x).
y't = asin t, x't = a(1-cos t).
Отсюда
y'(x) = (asin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t 2 k.
y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin4t/2.
Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.
Пример. Найти y''(x), если: x+y = ex-y.
Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.
1+y'x(x) = ex-y(1-y'x(x)),откуда y'x = (ex-y-1)/(1+ex-y).
Дифференцируя уравнение еще раз, получим
y''x(x) = ex-y(1-y'x(x))2-ex-yy''x(x),
следовательно,
y''x(x) = (1-y'x)2ex-y/(1+ex-y) = 4ex-y/(1+ex-y)3.
Инвариантность
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию
у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная
у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx.
Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t):
dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх -
видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может
быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию
у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная
у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме
dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2
y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла
dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2
x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x =>
неинвариантность формы второго диф-ла.
Локальный экстремум.
По
определению функция 
достигает
в точке 
локального
максимума (минимума), если существует
окрестность этой точки 
,
на которой выполняется неравенство
(1)
(соответственно 
)
(1’)
Локальный
максимум или минимум называется локальным
экстремумом.
Точка 
называется
точкой
локального экстремума.
Локальный экстремум (пример)
Исследовать
на локальный экстремум 
.
Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум:
НУ: 
и 
.
Для
применения достаточных условий
(сокращенно ДУ) составляем 
и
рассматриваем его определенность в
каждой
"подозрительной" на
экстремум точке; имеем
–
квадратичную
форму относительно 
и 
.
ДУ:
, 
;
матрица коэффициентов этой квадратичной
формы имеет вид 
;
для нее 
, 
.
Критерий Сильвестра не выполняется.
Нужны дополнительные
исследования,
их можно провести, например, следующим
образом.
Пусть 
–
произвольная 
-окрестность
(
)
точки
.
Поскольку 
,
то найдутся точки, принадлежащие этой
окрестности, в которых 
имеет
значения различных знаков, например, в
точке 
,
а в точке 
имеем 
.
Итак, во всякой -окрестности точки приращение функции не сохраняет знак. Это означает, что точка не является точкой экстремума для рассматриваемой функции.
В
точке 
матрица коэффициентов квадратичной
формы 
имеет
вид 
,
для нее 
, 
.
Согласно критерию Сильвестра 
–
положительно определенная квадратичная
форма; по ДУ в точке
функция
имеет локальный (безусловный) минимум,
причем 
.
Теорема Ферма.
Т
е о р е м а.
Если функция
имеет
производную в точке
и
достигает в этой точке локального
экстремума, то 
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о.
Для определенности будем считать,
что
имеет
в точке
локальный
максимум. По определению производной
имеем
Так
как у нас 
,
то для достаточно малых 
,
откуда
в пределе при 
.
(2)
Если
же 
,
то
.
поэтому, переходя к пределу при
в
этом неравенстве, получаем, что
(3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает, что .