Предел монотонной функции

Определение. Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева .

Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума отсюда следует, что существует конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума

1.

2.

Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности

а)

б)

Поэтому имеем

Выбрасывая лишнее получим, что

или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.

Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции.

Если f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f(x) ограничена.

Доказательство.

Зададим какое-нибудь ε > 0, например, ε = 1. По определению непрерывности, ∃ δ > 0: f(x) - f(a)< ε при x - a< δ, или < f(x) < в δ-окрестности точки a. Это и означает, что f(x) ограничена в δ-окрестности точки a. Т. док. Пусть f(x) непрерывна на промежутке X, то есть непрерывна в каждой точке этого промежутка. Тогда по теореме 7.1 f(x) ограничена в некоторой окрестности каждой точки промежутка X. Следует ли из этого, что f(x) ограничена на промежутке X? Ответ отрицательный. Пример. f(x) = на 0 < x < 1.Эта функция непрерывна в каждой точке данного интервала, и вместе с тем не является ограниченной на этом интервале. Особую роль играет промежуток, являющийся сегментом.

Критерий Коши для функции.

Для того, чтобы существовал конечный предел. Необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 выполнялось условие Коши для функции f (x) .

Доказательство. Возьмем любое 0, тогда найдется ( ) 0 . Возьмем любые x', x" ( a, b ), 0 | x' - x0| ( ), 0 | x" - x0| ( ), тогда | f ( x' ) - f ( x'' ) | = | ( f ( x' ) - A ) + ( f ( x'' ) - A ) | | f ( x' - A | - | f ( x'' ) - A | .

Критерий Коши для последовательности.

Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство: необходимость. Пусть сходится. Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы . Предположим, .В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограниченна. В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ( ) < ( ). .в силу произвольности , , .

Непрерывность функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

 U(f(a))  U(a) (f(U(a)) U(f(a))).

Непрерывность функции по Коши. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если  > 0 ()>0:  x удовлетворяющих условию |x-a|< , выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< 

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a) U(f(a)),  U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E. Из определения непрерывной функции следует, что f:E R непрерывна в a E, где a- предельная точка E  lim_{x a}f(x) = f(a).Последнее равенство можно переписать в следующей форме lim_{x a}f(x) = f(lim_{x a}x),которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Непрерывность функций

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ; (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);

3) или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4) такое, что или, что то же самое,

f:]x₀ - δ, x₀ + δ[ → ]f(x₀) - ε, f(x₀) + ε[.

Из определения непрерывности функции f в точке x₀ следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции

Если функция f: X → R не является непрерывной в точке x₀ ϵ X, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точка x₀ называется точкой разрыва функции f.

Точки разрыва функции f классифицируем следующим образом:

1. Пусть x₀ ϵ X - точка разрыва функции f и существует , конечный или бесконечный. При этом:

а) если конечный, то x₀ называем точкой устранимого разрыва функции f;

б) если , то x₀ называем точкой разрыва типа полюс.

2. Если не существует, то точку x₀ ϵ X называем точкой существенного разрыва функции f. При этом

а) если существуют конечные пределы

f(x₀ - 0), f(x₀ + 0) (f(x₀ - 0) ≠ f(x₀ + 0)),

то точку x₀ называем точкой разрыва первого рода функции f;

б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.

Поскольку в изолированной точке x₀ ϵ X функция f: X → R непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки x ϵ X.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство:

методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b] . Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b] , например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b] , для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b] , то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство:

Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b] , тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М> 0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b] , т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что ,

что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t₀.

Теорема о промежуточных значениях. Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Равномерная непрерывность функций

Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:

Непрерывность обратной функции

Пусть -- функция, непрерывная на отрезке . Предположим, что монотонна на ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что . Тогда образом отрезка будет отрезок , где и (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между и значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к функция функция, действующая из в . Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция тоже была бы монотонно убывающей.)