
- •О перации над множествами.
- •Свойства операций над множествами.
- •Функции и отображения.
- •Доказательство
- •Аксиоматика действительных чисел.
- •Лемма для стягивающихся отрезков.
- •Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани. Супремум и инфимум.
- •Последовательность.
- •Предел последовательности.
- •Предел функции и его свойства.
- •Свойства предела функции
- •Предел монотонной функции
- •Критерий Коши для последовательности.
- •Ф ункция одной переменной
- •Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
- •Геометрический смысл производной.
- •Правила дифференцирования
- •Производная обратной функции.
- •Производная параметрически и неявно заданных функций
- •Инвариантность
- •Локальный экстремум.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши
- •Необходимое условие экстремума.
- •Достаточное условие локального экстремума.
- •В ыпуклость функции.
- •Т очка перегиба.
Предел монотонной функции
Определение. Функция называется
-
монотонно возрастающей, если из
-строго
монотонно возрастающей, если из
-
монотонно убывающей, если из
-строго
монотонно убывающей, если из
.
Докажем одну из возможных здесь теорем.
Теорема.
Если
монотонно
возрастает и ограниченна сверху при
,
то существует конечный предел слева
.
Доказательство.
Рассмотрим множество
значений
функции
при
.
По условию теоремы, это множество
ограниченно сверху, т.е.
.
По теореме о существовании супремума
отсюда следует, что существует конечный
.
Покажем,
что
.
По свойствам супремума
1.
2.
Обозначим
.
Возьмем любое x, для которого
,
но
.
Как видно из рисунка, из этого следует,
что
.
Но тогда, в силу монотонности
а)
б)
Поэтому имеем
Выбрасывая лишнее получим, что
или,
что то же самое,
.
По определению предела функции это
означает, что
.
Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.
Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции.
Если f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f(x) ограничена.
Доказательство.
Зададим какое-нибудь ε > 0, например, ε = 1. По определению непрерывности, ∃ δ > 0: f(x) - f(a)< ε при x - a< δ, или < f(x) < в δ-окрестности точки a. Это и означает, что f(x) ограничена в δ-окрестности точки a. Т. док. Пусть f(x) непрерывна на промежутке X, то есть непрерывна в каждой точке этого промежутка. Тогда по теореме 7.1 f(x) ограничена в некоторой окрестности каждой точки промежутка X. Следует ли из этого, что f(x) ограничена на промежутке X? Ответ отрицательный. Пример. f(x) = на 0 < x < 1.Эта функция непрерывна в каждой точке данного интервала, и вместе с тем не является ограниченной на этом интервале. Особую роль играет промежуток, являющийся сегментом.
Критерий Коши для функции.
Для того, чтобы существовал конечный предел. Необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 выполнялось условие Коши для функции f (x) .
Доказательство.
Возьмем любое
0,
тогда найдется
(
)
0
.
Возьмем любые x',
x"
(
a,
b
),
0
|
x'
- x0|
(
),
0
|
x"
- x0|
(
),
тогда |
f
( x'
) - f
( x''
) | = | ( f
( x'
) - A
) + ( f
( x''
) - A
) |
|
f
( x'
- A
| - | f
( x''
) - A
|
.
Критерий Коши для последовательности.
Для
того, чтобы последовательность
сходилась,
необходимо и достаточно чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство:
необходимость.
Пусть
сходится.
Достаточность.
Пусть
-
фундаментальная последовательность.
Докажем, что она ограничена и
.Так
как последовательность фундаментальна,
то
,
в
-окресности
которой существуют все элементы
.
Предположим,
.В
отрезке [A, -A] содержатся все элементы
последовательности, т.е.
-
ограниченна.
В
следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса
(
)
< (
).
.в
силу произвольности
,
,
.
Непрерывность функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
U(f(a)) U(a) (f(U(a)) U(f(a))).
Непрерывность функции по Коши. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если > 0 ()>0: x удовлетворяющих условию |x-a|< , выполнено неравенство |f(x)-f(a)|<
Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a) U(f(a)), U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E. Из определения непрерывной функции следует, что f:E R непрерывна в a E, где a- предельная точка E limx af(x) = f(a).Последнее равенство можно переписать в следующей форме limx af(x) = f(limx ax),которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.
Непрерывность функций
Функция
,
называется непрерывной в точке
,
если выполняется одно из эквивалентных
условий:
1)
;
(1)
2)
для произвольной последовательности
(xn)
значений
,
сходящейся при n
→ ∞ к точке x0,
соответствующая последовательность
(f(xn))
значений функции сходится при n
→ ∞ к f(x0);
3)
или f(x)
- f(x0)
→ 0 при x
- x0
→ 0;
4)
такое,
что
или, что то же самое,
f:]x0 - δ, x0 + δ[ → ]f(x0) - ε, f(x0) + ε[.
Из
определения непрерывности функции f
в точке x0
следует, что
Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.
Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции
Если функция f: X → R не является непрерывной в точке x0 ϵ X, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точка x0 называется точкой разрыва функции f.
Точки разрыва функции f классифицируем следующим образом:
1. Пусть x0
ϵ X
- точка разрыва функции f
и существует
,
конечный или бесконечный. При этом:
а) если конечный, то x0 называем точкой устранимого разрыва функции f;
б) если
,
то x0
называем точкой
разрыва типа полюс.
2. Если не существует, то точку x0 ϵ X называем точкой существенного разрыва функции f. При этом
а) если существуют конечные пределы
f(x0 - 0), f(x0 + 0) (f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0)),
то точку x0 называем точкой разрыва первого рода функции f;
б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.
Поскольку в изолированной точке x0 ϵ X функция f: X → R непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки x ϵ X.
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство:
методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b] . Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b] , например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b] , для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.
Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b] , то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.
Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство:
Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.
По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b] , тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М> 0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b] , т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.
Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.
Теорема о непрерывности сложной функции.
Пусть функция (t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=(t0). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая
подчеркнутые кванторы, получим, что
,
что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t0.
Теорема о промежуточных значениях. Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями. |
|
Равномерная непрерывность функций
Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если
Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
Непрерывность обратной функции
Пусть
--
функция, непрерывная на отрезке
.
Предположим, что
монотонна
на
;
пусть, для определённости, она монотонно
возрастает: из
следует,
что
.
Тогда образом отрезка
будет
отрезок
,
где
и
(действительно,
непрерывная функция принимает любое
промежуточное между
и
значение,
причём ровно один раз, что следует из
монотонности). Поэтому существует
обратная к
функция
функция,
действующая из
в
.
Очевидно, что
монотонно
возрастает. (Если бы функция
была
монотонно убывающей, то и обратная к
ней функция
тоже
была бы монотонно убывающей.)