Билет 8

Скалярное произведение

Скалярным произведением на называется число .

Второе определение: .

Оба определения равносильны, т.к. , .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. .

2. .

3. .

4. , если , иначе .

5. Геометрические свойства скалярного произведения

С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.

1. Длина вектора а находится по формуле: .

2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

Отсюда заключаем, что:

— ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;

— угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;

— угол между ненулевыми векторами и тупой тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .

Ортогональная проекция вектора на ось, задаваемую вектором .

Если ось задается единичным вектором , то . Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов: Дл того чтобы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы ­ .

1.Если или , то теорема справедлива, т.к. нулевой вектор имеет произвольное направление и .

1. Пусть . Тогда и, т.к. и , то , т.е. .

2. Пусть . Тогда .

Пусть задана прямоугольная декартова система координат и пусть и . Тогда , т.к. , и .

Билет 9

Векторное произведение векторов

Три вектора называют упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них первый, какой второй и какой третий.

Некомпланарная тройка векторов , и называется правой (левой) если после приведения их к общему началу расположен по ту сторону от плоскости векторов и , откуда наикратчайший поворот от к кажется осуществляемым против (по) часовой стрелки.

Векторным произведение и называют вектор такой, что , , и векторы , и образуют правую тройку. Обозначение: ­ .

Алгебраические свойства:

1. .

2. .

3. .

4. .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть , и ­ . Тогда , т.е. .

2. Пусть . Тогда .

Модуль векторного произведение равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

.

Выражение векторного произведения в ДСК

Если в ДСК и то . .

Геометрический смысл векторного произведения

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. 2. Длина (модуль) векторного произведения x равна площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , т. е.

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. 2. Длина (модуль) векторного произведения x равна площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , т. е.

Смешанное произведение трёх векторов

Смешанным произведением векторов , и называют число .

М одуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу.

, где - орт .

Пусть в ДСК , , . Тогда .

Билет 10

Геометрические свойства смешанного произведения

1 . Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны

Критерий компланарности трёх векторов: Для того чтобы векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы .

В самом деле, это означает, что объём параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу, будет равен нулю, а это возможно только когда все три вектора лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. компланарны.

Билет11

Тройно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: двойное векторное произведение) векторов  — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и

Двойным векторным произведением векторов , и называют вектор .

.