Раздел 1. Линейная алгебра.

1. Понятие определителя 2 порядка. Понятие определителя n-порядка

Ответ:

Определителем 2 порядка называется число полученное следующим образом:

А₁₁A₁₂

A₂₁ A₂₂ A₁₁A₂₂-A₁₂A₂₁

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

2.Свойства определителей.

Ответ:

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.(т.е меняет знак) Например,

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

(т.е. разложение по n или по n столбцу)

3.Понятие алгебраического дополнения элемента определителя. Свойства алгебраических дополнений.

Ответ:

Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя – n го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если I+J – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение:

Свойства алгебраического дополнения.

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Основные свойства алгебраического дополнения связаны по элементам разложения определенного столбца или строки.

По элементам i-й строки:

По элементам j-го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

4. Матрицы. Основные понятия. Правило действий над матрицами.

Матрица- это упорядоченная таблица элементов

Матрица состоит из строк и столбцов.

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые скобки.

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбца

Правила действий над матрицами.