§44.Толстостенные оболочки (цилиндры). Определение напряжения перемещения. Задача Ляме.

Толстостенным цилиндром называется цилиндр, у которого выполняются условия:

а – внутренний радиус

b – Наружный радиус

1. дополнительное уравнение перемещений в окружном направлении

2. дополнительное уравнение перемещений: радиально дополнит перемещение

а) бесконечно толстостенный цилиндр без днища

Рассмотрим цилиндр, нагруженный только внутренним давлением

Если в цилиндре нет днища (бесконечно длинный цилиндр), то двухосное напряженное состояние

Рассмотрим изменение при изменении толщины стенки

Определим абсолютные перемещения

§45. Составные толстостенные трубы: условие Гадолина.

Одним из способов снижения является создания составных соединенных с натягом цилиндра

Если нагреть второй цилиндр, то отверстие увеличится, в него можно вставить первый цилиндр. При остывании обоих цилиндров между ними на контактируемых поверхностях возникает контактное давление.

Полагаем, что первый и второй цилиндр состоит из одинаково материала =>

Если нагрузили составной цилиндр внутренним давлением, то составляющие части цилиндра будут рабочими, как единое целое.

При этом возникнут напряжения с учетом предварительного напряжения натяга (обратного знака), суммарное напряжение снижается. Составной цилиндр способен выдержать большое давление, нежели цельный.

Пунктиром обозначены формы для цельного несоставного цилиндра с толщиной стенки .

В точке A понижается

В точке B понижается

Приравняем

Условие равнопрочности:

Если исключить из (18а) давление p_k , то

Эта величина имеет минимум при

Формулы (17), (20), (21) – называются условиями Гадолина.

Если внутренний радиус a мал, то для составного цилиндра снижается почти в 2р., посадка труб дает почти двукратное снижение .

Если толщина составных труб мала, то посадка практически не дает эффекта.

Толщина посадки для снижения в технике высоких давлений применяют автофретирование.

Автофретирование – это предварительная нагрузка цилиндра внутреннего давления выше рабочего, с целью создания во внутренних слоях пластичных деформаций. После снятия давления во внешних слоях цилиндра остаются упругие деформации, во внешних слоях - напряжение растяжения, во внутренних слоях - напряжение сжатия.

При дальнейшим нагружении остаточные напряжения суммируется с рабочими напряжениями так, что во внутренних слоях имеет место частичная разгрузка. Материал не получает пластичной деформации, если давление рабочее не превышает давления предварительного обжатия.