- •1. Экспоненциальная функция и её свойства.(???????????????)
- •2.Логарифмическая функция и её свойства. Показательная функция и её свойства.
- •4. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Модуль непрерывности функции. Взаимосвязь модуля непрерывности с равномерной непрерывностью функции.
- •5. Первый и второй замечательные пределы.
- •6 . Эквивалентные функции. Таблица эквивалентных функций. Асимптотическое поведение функций (o-символы).
- •7. Производная функции. Дифференцируемость функции, дифференциал функции. Дифференцируемость функции и её непрерывность.
- •8. Производная суммы, произведения частного функций. Производная обратной функции.
- •9. Производная и дифференциал композиций функций. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •10. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданной параметрически.
- •11. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •12. Теорема Ролля (о нуле производной). Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) и следствия из неё (условие постоянства монотонной функции).
- •13. Теорема Коши (обобщённая форма конечных приращений). Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. Теорема о разрывах производной.
- •14. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя (без доказательства).
- •15. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Различные формы остаточного члена (Лагранжа, Коши и Пеано). Формула Маклорена.
8. Производная суммы, произведения частного функций. Производная обратной функции.
Если uD(x0), vD(x0), то
[u(x)v(x)]’ = u’(x) v’(x),
[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) u(x)v’(x),
[u(x)/v(x)]’ = [u’(x)v(x) – u(x)v’(x)]/v2(x)
Доказательство.
1. Пусть y(x) = u(x) v(x).
[u(x+Δx) - u(x)] [v(x+Δx) - v(x)] = Δu Δv.
Δy /Δx = Δu /Δx Δv /Δx . Возьмём пределы от обеих частей при Δx0 и получим y’(x) = u’(x) v’(x).
2. Пока лень!
3. Пусть y(x) = u(x)/v(x), v(x)0.
Δy = y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx)/v(x+Δx) – u(x)/v(x) = (приводим к общему знаменателю) = [u(x+Δx)v(x)– u(x) v(x+Δx)] / [v(x)v(x+Δx)] = (добавим и вычтем u(x)v(x)) = [u(x+Δx)v(x) – u(x)v(x)] / [v(x)v(x+Δx)] – [u(x) v(x+Δx) – u(x)v(x)] / [v(x)v(x+Δx)] = (выносим v(x) и u(x)) = v(x)[u(x+Δx) – u(x)] / [v(x)v(x+Δx)] – u(x) [v(x+Δx) –v(x)] / [v(x)v(x+Δx)] = [v(x)Δu + u(x)Δv] / [v(x)v(x+Δx)].
Возьмём пределы от обеих частей при Δx0. Так как lim Δu/Δx = u’(x), lim Δv/Δx = v’(x), lim v(x+Δx)= v(x), то y’(x) = [u’(x)v(x) – u(x)v’(x)]/v2(x).]
Следствие.
Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на (a,b). Если f дифференцируема в точке x0, x0 (a,b), f ’(x0) 0, то обратная функция x = f-1(y) дифференцируема в точке y0 = f(x0), причём {f-1(y0)}’ = 1/f ’(x0).
Доказательство.
{f-1(y0)}’ = lim [f-1(y0+Δy) - f-1(Δy)] /Δy = lim Δx / [f(x0+Δx) – f(x0)]= lim 1 / [f(x0+Δx) – f(x0) / Δx] = 1/f ’(x0), Δx0, Δy0.
9. Производная и дифференциал композиций функций. Инвариантность формы первого дифференциала.
Теорема. Если fD(x0), gD(y0), где y0=f(x0), то композиция g(f(x0))D(x0) и [g(f(x0))]’ = g’(f(x0))f ’(x0).
Доказательство.
Δy = f(x0+Δx) – f(x0) = f ’(x0)Δx + (Δx)Δx, где (Δx) = o(1), (Δx)0, Δx0.
{Печенцов решил доопределить эту функцию: (0) = 0 , (Δx) = [Δf – f ’(x0)Δx] / Δx }.
g(y0+Δy) - g(y0) = g’(y0)Δy + (Δy)Δy =(Подставим Δy) = g’(y0) (f ’(x0)Δx + (Δx)Δx ) + (Δy)(f ’(x0)Δx + (Δx)Δx ) = (Раскроем скобки) = g’(y0)f ’(x0)Δx + g’(y0) (Δx)Δx + (Δy)f ’(x0)Δx + (Δy)(Δx)Δx = (Три последних члена являются бесконечно малыми величинами) = g’(y0)f ’(x0)Δx + (Δx)Δx.
g(f(x0+Δx)) – g(f(x0)) = g’(f(x0))f ’(x0)Δx + (Δx)Δx Произведение композиции равно произведению производных.
Следствие: То же самое для h, g, и f.
Инвариантность формы первого дифференциала.
y = f(x) D(x0), dy = f ’(x0)dx , где x – независимая переменная.
Если x = (t)D(t0), т.е. x - зависимая переменная. (t0) = x0.
y =f((t)), dy = [f((t))]’dt = f ’(x0)’(t0)dt = f ’(x0)dx.
10. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданной параметрически.
fD(a,b), т.е. в каждой точке определена f ’(x) = g(x)D(x0).
g'(x0) = d2f/dx2 (x0) = D2f(x0) = f ”(x0).
Пусть определена производная f(n-1)(x) (n-1) порядка функции f(x) в некоторой окрестности точки x0.
Производная функции f(n-1)(x) в точке x0 называется производной порядка n функции f(x) в точке x0.
f(n)(x0) = {d(f(n-1)(x))/dx}(x0), - здесь не умножается на (x0).
Пусть f(x) определена в U(x0), fD(x0).
dy = f ’(x)dx = f ’(x)Δx. Будем считать, что приращение Δx не зависит от x.
Рассмотрим дифференциал от первого f ’(x)Δx дифференциала при приращении x = dx = Δx.
(f ’(x)dx)|x = dx = (f ’(x) dx)’x |x = dx = f ”(x)dxx|x = dx = f ”(x)(dx)2.
Определение.
Значение дифференциала (d(n-1)y), взятое при x=dx называется дифференциалом n-го порядка функции f(x).
Докажем, что dny = f(n)xdxn по индукции.
d2y = f ”(x)dx2
Пусть верно для n: dny = f(n)xdxn.
Докажем для n+1:
dn+1y = (f(n)xdxn)’dx = f(n+1)(x).
Производная функции, заданной параметрически.
x = (t), y = (t).
- строго монотонна в U(t0), D(U(t0)) и ’(t0) 0.
-1(x) = t.
D(U(x0)), x0 = (t0).
(-1)’(x0) = 1/’(t0).
y = (-1(x)) (композиция).
D(t0)
y’x (x0) = dy/dx = ’(t0)’(x0) = ’(t0) /’(t0).