1. Экспоненциальная функция и её свойства.(???????????????)

Рассмотрим функцию a(x) = lim (1 + x/n)ⁿ , a(x)  , a(x)C (R).

a(x) > 0 , то x a(x)+ при x+

a(x) < 0, то x a(x)0 при x-

Утверждение.  rQ a(r) = e^r.

Доказательство.

Нафига это надо?

Определение. Функция a(x) = lim (1 + x/n)ⁿ , n   называется экспоненциальной.

a(x) = e^x = exp(x)

2.Логарифмическая функция и её свойства. Показательная функция и её свойства.

Определение. Функция a(x) = lim (1 + x/n)ⁿ , n   называется экспоненциальной.

a(x) = e^x = exp(x).

Определение. Обратная функция a^-1(y) : ????? R  R ????? называется логарифмической и обозначается: ln(y).

Свойства.

ln (x₁x₂ ) = ln x₁ + ln x₂, x₁,x₂R.

Доказательство.

e^y1 = x₁, e^y2 = x₂, тогда x₁x₂ = e^y1+y2 и ln(x₁x₂) = y₁+y₂.

Определение. Функция a^x = e^xln(a) a > 0, a1 называется показательной функцией.

Определение. Обратная по отношению к функции a^x называется логарифмической по основанию a функция.

3. Степенная функция y = x^a и её свойства.

Определение. Функция x^a = e^aln(x) x > 0 называется степенной функцией.

Свойства.

1. x^ax^b = x^a+b. Доказательство. x^ax^b = e^aln(x)  e^bln(x) = e^{(a+b)ln(x)} = x^a+b.

2. (x^a)^{^ b} = x^ab. Доказательство. (x^a)^{^ b} = (e^aln(x))^{^ b} = e^{ln(x)ab} = x^ab.

3. ln(x^a) = aln(x) Доказательство. e^{ln(x ^ a)} = x^a и e^aln(x) = x^a.

4. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Модуль непрерывности функции. Взаимосвязь модуля непрерывности с равномерной непрерывностью функции.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной, если  >0  >0 такое, что x’, x”  X и |x’-x”| <  выполняется |f(x’)-f(x”)|<.

Теорема Кантора. Если fC[a,b] (непрерывная на [a,b]), то f(x) равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. От противного. Пусть для >0  =1/n, что |x’-x”| < 1/n, но |f(x’)-f(x”)|  .

Рассмотрим пару точек x_n’ и x_n” такую, что |x_n’-x_n”| < 1/n и |f(x_n’)-f(x_n”)|  .

Так как {x_n’} ограничена, выделим подпоследовательность x_nk',сходящуюся к x₀. Из неравенства |x_nk” - x₀|  |x_nk” - x_nk’| + |x_nk’ - x₀|, следует, что lim x_nk”, k =x₀.

Так как f непрерывна в точке x₀, то lim f(x_nk') = lim f(x₀) и f(x_nk”) = lim f(x₀)

Тогда f(x_nk') - f (x_nk”)  0, k, что противоречит |f(x’)-f(x”)|  .

Модуль непрерывности функции. Взаимосвязь модуля непрерывности с равномерной непрерывностью.

Определение. Модулем непрерывности функции f(x) называется функция (f,) := sup |f(x’) – f(x”)|, 0, (где |x’-x”|<).

Теорема. Условие lim (f,+0) = 0 необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была равномерно непрерывной на X.

Доказательство.

1.Достаточность. Если lim (f,+0) = 0, то для >0  >0, что (f,) = sup |f(x’) – f(x”)| < , то и для любых точек x’ и x”, для которых |x’ – x”|<, имеем |f(x’)-f(x”)|<.

2.Необходимость. Пусть f(x) равномерно непрерывна, тогда для >0  >0 такое, что для любых точек x’ и x”, для которых |x’ – x”|<, имеем |f(x’)-f(x”)|</2. Так как правая часть не зависит от x, заменим левую часть на верхнюю грань по всем x’ и x” ”, для которых |x’ – x”|<. Тогда получим ()  /2 < .