11. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. ЛОДУ II-го порядка.

12. Определитель Вронского

Определение. Система функций называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.

В случае двух функций это означает, что , т.е. . Последнее условие можно переписать в виде ≢0 или ≢0. Стоящий в числителе этого выражения определитель называется определителем Вронского для функций и . Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.

Пусть – определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения (2.3). Убедимся подсткой, что функция удовлетворяет уравнению

. (3.1)

Действительно,

Поскольку функции и удовлетворяют уравнению (2.3), то

т.е. – решение уравнения (3.1). Найдём это решение:

;

Отсюда

,

, ,

, .

В правой части последнего равенства необходимо оставить знак плюс, так как только в этом случае при получается тождество. Таким образом,

(3.2)

Полученная формула называется формулой Лиувилля.

Выше было показано, что определитель Вронского для линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка , в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3) отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функция будет отлична от нуля при всех значениях из рассматриваемого промежутка, поскольку при любом значении оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.

2.4. Структура общего решения лоду 2-го порядка

Теорема. Если и – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (2.3), то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

В данном случае говорят, что функции и образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (2.3).

Доказательство. Первая часть утверждения, касающаяся того, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений ЛОДУ 2-го порядка. Остаётся показать, что решение будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ при :

,

а такой определитель, как было показано в предыдущем разделе, отличен от нуля. Теорема доказана.

13. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ II-го порядка (с док-вом).

В предыдущем вопросе

14. Построение общего решения ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения (случай D>0) (c док-вом).

15. Построение общего решения ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения (случай D=0) (c док-вом).

16. Построение общего решения ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (случай D<0) (c док-вом).

17. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ II-го порядка (с док-вом).

Теорема 1. Общее решение ЛНДУ 2-го порядка

(6.1)

представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения

(6.2)

и любого частного решения уравнения (6.1).

Доказательство. Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим в уравнение (6.1):

.

Это равенство является тождеством, так как и . Следовательно, есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида:

, . (6.3)

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде:

,

где и – линейно независимые решения этого уравнения.

Таким образом: и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

или

(6.4)

Произвольные постоянные и определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при , а такой определитель, как было указано выше, отличен от нуля. Определив постоянные и из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение , мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Теорема 2. Если – решение дифференциального уравнения

,

а – решение уравнения

,

то функция является решением уравнения

. (6.5)

Доказательство. Подставив функцию в уравнение

(6.5), получим

.

Это равенство является тождеством, так как

и .

Теорема доказана.

18. Построение частного решения ЛНДУ II-го порядка в случае правой части вида .

Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, т.е. уравнение имеет вид:

, (7.1)

где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределённых коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части . Рассмотрим правые части уравнения (7.1) следующего вида:

1. , где – многочлен степени , причём некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение записываем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределённых коэффициентов.

19. Построение частного решения ЛНДУ II-го порядка в случае правой части вида

20. Метод вариации для решения ЛНДУ II-го порядка

Непосредственное нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причём со специальными правыми частями, обычно представляет большие трудности. В связи с этим для нахождения общего решения ЛНДУ рассмотрим метод вариации произвольных постоянных, который всегда даёт возможность выразить общее решение ЛНДУ через элементарные функции и интегралы от них (в этом случае говорят, что решение «найдено в квадратурах»), если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

Как было показано ранее, общее решение линейного однородного уравнения (ЛОДУ) имеет вид:

, (8.1)

где – линейно независимые на некотором интервале решения ЛОДУ, а – произвольные постоянные.

Будем искать частное решение ЛНДУ в форме (8.1), считая, что – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от x:

. (8.2)

Продифференцируем равенство (8.2):

. (8.3)

Подберём функции и так, чтобы выполнялось равенство: . Тогда вместо (8.3) получим:

. (8.4)

Продифференцируем это выражение ещё раз по x, получим:

. (8.5)

Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в ЛНДУ 2-го порядка , получим:

или

(8.6)

Так как – решения ЛОДУ , то равенство (8.6) принимает вид:

.

Таким образом, функция (8.2) будет решением ЛНДУ в том случае, если функции и удовлетворяют системе уравнений:

(8.7)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на интервале X решений соответствующего ЛОДУ, то он не обращается в нуль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдём и :

и .

Интегрируя полученные равенства, получим:

, ,

где , – произвольные постоянные.

Возвращаясь к равенству (8.2), получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Ряды

1. Числовые ряды. Основные понятия, свойства сходящихся рядов.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел R.

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как . Числа называются членами (элементами) числового ряда.

Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: .Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм : .

Таким образом, каждому числовому ряду можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм : .

Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S

последовательности частичных сумм , то он называется суммой ряда , т.е. .

Если S конечно (S < ), то ряд называется сходящимся; если S =  или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет.

Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится?

Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.

2. Необходимый признак сходимости (с док-вом).

Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов). Пусть ряд

сходится, тогда его общий член стремится к 0 (при )

(обратное не всегда верно).

Доказательство. Так как ряд сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм имеют место равенства ; . Что и требовалось доказать.

Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: , где − общий член ряда. Тогда . Частичная сумма ряда имеет вид . Очевидно, каждый член этой суммы , тогда оценка даёт неравенство: , следовательно, , т.е. исходный ряд расходится, хотя .

Следствие из теоремы 1. Если общий член ряда а_n (при ) не стремится к 0, то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

3. Гармонический ряд. Ряды Дирихле.