Методы понижения порядка уравнения
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
. (1.1)
Общим решением уравнения (1.1) является
семейство функций, зависящее от двух
произвольных постоянных
и
:
(или
– общий интеграл дифференциального
уравнения 2-го порядка). Задача Коши
для дифференциального уравнения 2-го
порядка (1.1) состоит в отыскании частного
решения уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям: при
.
Необходимо заметить, что графики решений
уравнения 2-го порядка могут пересекаться
в отличие от графиков решений уравнения
1-го порядка. Однако решение задачи Коши
для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно
широких предположениях для функций,
входящих в уравнение, единственно, т.е.
всякие два решения с общим начальным
условием
совпадают на пересечении интервалов,
на которых определены уравнения.
Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удаётся далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удаётся понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной . Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
, (1.2)
т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует
независимая переменная
.
Это позволяет принять
за новый аргумент, а производную 1-го
порядка
принять за новую функцию
.
Тогда
Таким образом, уравнение 2-го порядка
для функции
,
не содержащее явно
,
свелось к уравнению 1-го порядка
для функции
.
Интегрируя это уравнение, получаем
общий интеграл
или
,
а это есть дифференциальное уравнение
1-го порядка для функции
.
Решая его, получаем общий интеграл
исходного дифференциального уравнения
(1.2), зависящий от двух произвольных
постоянных:
Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом).
Определение. Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:
, (2.1)
где
и
– заданные функции, непрерывные на том
промежутке, на котором ищется решение.
Предполагая, что
разделим (2.1) на
и, после введения новых обозначений для
коэффициентов, запишем уравнение в
виде:
(2.2)
Примем без доказательства, что уравнение
(2.2) имеет на некотором промежутке
единственное решение, удовлетворяющее
любым начальным условиям
если на рассматриваемом промежутке
функции
,
и
непрерывны.
Если
,
то уравнение (2.2) называется линейным
однородным дифференциальным уравнением
(ЛОДУ). В противном случае, т.е. при
≢0,
уравнение (2.2) называется линейным
неоднороднымдифференциальным уравнением
(ЛНДУ).
Рассмотрим свойства решений ЛОДУ 2-го порядка.
Определение. Линейной
комбинацией функций
называется выражение
,
где
– произвольные числа.
Теорема. Если
и
– решения ЛОДУ
, (2.3)
то их линейная комбинация
,
где
– произвольные числа, также будет
решением этого уравнения.
Доказательство. Поставим выражение в уравнение (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:
Перегруппируем слагаемые:
Поскольку функции и являются решениями уравнения (2.3), то выражения в каждой из скобок в последнем уравнении тождественно равны нулю, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Из доказанной
теоремы вытекает при
,
что если
– решение уравнения (2.3), то
тоже есть решение этого уравнения.
Следствие 2. Полагая в теореме
,
получим, что сумма двух решений ЛОДУ
также является решением этого уравнения.
Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для ЛОДУ любого порядка.