Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория (вопросы).doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
3.18 Mб
Скачать

Уравнение Бернулли

Определение. Дифференциальное уравнение вида

,

где , , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:

. (8.1)

Введём новую функцию . Тогда

.

Умножим обе части уравнения (8.1) на и перейдем к функции z(x):

,

т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем разделе 1.7. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путём подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в 1.7. Рассмотрим применение этого метода для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

  1. ДУ в полных дифференциалах. Формулировка аналитического признака полного дифференциала

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Если в уравнении

(9.1)

левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде , следовательно, его общий интеграл есть .

Например, уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде . А значит, общий интеграл задаётся равенством .

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

. (9.2)

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2).

Покажем, что может быть найдена такая функция , что и .

Действительно, поскольку , то

, (9.3)

где – произвольная дифференцируемая функция.

Продифференцируем равенство (9.3) по y:

.

Но , следовательно,

.

Положим , тогда .

Итак, построена функция

,

для которой

, а .

  1. Интегрирующий множитель. Достаточные условия существования интегрирующего множителя вида (вывод).

Определение. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция – такая, что после умножения на неё обеих частей уравнения получающееся дифференциальное уравнение

становится уравнением в полных дифференциалах, т.е. , то функция называется интегрирующим множителем исходного уравнения.

В случае, когда уравнение является уравнением в полных дифференциалах, полагают .

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то имеем тождество:

.

Из этого тождества следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет уравнению с частными производными 1-го порядка:

. (10.1)

Если заранее известно, что , где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:

, (10.2)

где

,

т.е. указанная дробь является функцией только переменной ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, .

В частности, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x ( ) или только от y ( ), если выполнены соответственно следующие условия:

,

или

,

  1. ДУ II-го порядка, допускающие понижение порядка.