Дифференциальные уравнения
ДУ: порядок, частное решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
, (1.1)
где F – заданная
функция своих аргументов. В названии
этого класса математических уравнений
термин «дифференциальные» подчеркивает,
что в них входят производные
(функции, образованные как результат
дифференцирования); термин «обыкновенные»
говорит о том, что искомая функция
зависит только от одного действительного
аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение
может не содержать в явном виде аргумент
x, искомую функцию
и любые её производные, но старшая
производная
обязана входить в уравнение n-го
порядка. Например,
а)
– уравнение первого порядка;
б)
– уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в)
– уравнение второго порядка;
г)
– уравнение первого порядка, образующее
после деления на dx
эквивалентную форму задания уравнения:
.
Определение 2. Функция
называется решением обыкновенного
дифференциального уравнения, если при
подстановке в него
оно обращается в тождество. Например,
уравнение 3-го порядка
имеет решение
.
Найти тем или иным приёмом, например,
подбором, одну функцию, удовлетворяющую
уравнению, не означает решить его. Решить
обыкновенное дифференциальное уравнение
– значит найти все функции, образующие
при подстановке в уравнение тождество.
Для уравнения (1.1) семейство таких функций
образуется с помощью произвольных
постоянных и называется общим решением
обыкновенного дифференциального
уравнения n-го порядка,
причём число констант совпадаёт с
порядком уравнения:
Общее решение может быть явно не разрешено
относительно y(x):
В этом случае решение принято называть
общим интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального
уравнения
является следующее выражение:
,
причём второе слагаемое может быть
записано и как
,
так как произвольная постоянная
,
может быть заменена новой произвольной
постоянной
.
Придавая некоторые допустимые значения
всем произвольным постоянным в общем
решении или в общем интеграле, получаем
определённую функцию, уже не содержащую
произвольных констант. Эта функция
называется частным решением или
частным интегралом уравнения (1.1).
Для отыскания значений произвольных
констант, а следовательно, и частного
решения, используются различные
дополнительные условия к уравнению
(1.1). Например, могут быть заданы так
называемые начальные условия при
:
. (1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности решения ДУ 1-го порядка
Обыкновенное дифференциальное
уравнение 1-го порядка (
)
имеет вид:
или (если его удаётся разрешить
относительно производной)
.
Общее решение
или общий интеграл
уравнения 1-го порядка содержат одну
произвольную постоянную. Единственное
начальное условие для уравнения 1-го
порядка
позволяет определить значение константы
из общего решения или из общего интеграла.
Таким образом можно найти частное
решение, т.е. задача Коши будет решена.
Вопрос о существовании и единственности
решения задачи Коши является одним из
центральных в общей теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для уравнения
1-го порядка, в частности, справедлива
следующая теорема, принимаемая здесь
без доказательства.
Теорема. Если в уравнении
функция
и её частная производная
непрерывны в некоторой области D
плоскости XOY и
в этой области задана точка
,
то существует (и притом единственное)
решение
,
удовлетворяющее как уравнению
,
так и начальному условию
.
Геометрически общее решение уравнения
1-го порядка представляет собой семейство
кривых на плоскости XOY,
не имеющих общих точек и отличающихся
друг от друга одним параметром –
значением константы C.
Эти кривые называются интегральными
кривыми для данного уравнения.
Интегральные кривые уравнения
обладают очевидным геометрическим
свойством: в каждой точке
тангенс угла наклона касательной к
кривой равен значению правой части
уравнения в этой точке:
.
Другими словами, уравнение
задаёт на плоскости XOY
поле направлений касательных к
интегральным кривым.
Замечание: Необходимо
отметить, что к уравнению
приводится уравнение
и так называемое уравнение в симметрической
форме
.
ДУ с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
(3.1)
или уравнение вида
. (3.2)
Чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделёнными переменными, необходимо множители, содержащие переменную x перенести в одну сторону уравнения, а множители, содержащие переменную y, – в другую, а именно:
.
Остается проверить, не потеряны ли
решения при делении на выражения,
зависящие от переменных. Для этого
необходимо решить уравнение
.
Если оно имеет вещественное решение
,
то
тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с
разделёнными переменными делением на
произведение
:
,
что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):
. (3.3)
Функции (3.3), определяющие интегральные
кривые, будут дополнены решениями
,
если такие решения существуют.
Однородные ДУ 1-го порядка.
Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых
справедливо соотношение
,
называемое условием однородности
функции двух переменных нулевого
измерения.
Линейные ДУ 1-го порядка и уравнение Бернулли.
Определение. Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и её производной. Оно имеет вид:
, (7.1)
где
и
– заданные непрерывные функции от
x. Если функция
,
то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)
и называется линейным однородным
уравнением, в противном случае (
≢0)
оно называется линейным неоднородным
уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
;
;
. (7.3)
Выражение (7.3) определяет общее решение уравнения (7.2).
Чтобы найти общее решение уравнения
(7.1), в котором функция
обозначает ту же функцию, что и в уравнении
(7.2), воспользуемся так называемым методом
вариации произвольной постоянной,
который состоит в следующем: постараемся
подобрать функцию
так, чтобы общее решение линейного
однородного уравнения (7.2) являлось
решением неоднородного линейного
уравнения (7.1). Тогда производная функции
(7.3) примет вид:
.
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), получим:
или
.
Отсюда
,
где
– произвольная постоянная.
В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет иметь вид:
. (7.4)
Заметим, что первое слагаемое в выражении
(7.4) представляет общее решение (7.3)
линейного однородного дифференциального
уравнения (7.2), а второе слагаемое –
частное решение линейного неоднородного
уравнения (7.1), полученное из общего
(7.4) при
.
Сформулируем замеченный факт в виде
теоремы.
Теорема. Если известно одно
частное решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения
,
то все остальные решения имеют вид
,
где
– общее решение соответствующего
линейного однородного дифференциального
уравнения.
Однако надо отметить, что для решения
линейного неоднородного дифференциального
уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется
другой метод, иногда называемый методом
Бернулли. Будем искать решение
уравнения (7.1) в виде
.
Тогда
.
Подставим найденную производную в исходное уравнение (7.1), получим:
.
Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) как общий множитель за скобку:
. (7.5)
Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
. 
(7.6)
Решим уравнение (7.6), полагая произвольную постоянную C равной нулю:
,
.
Найденную функцию v(x) подставим в уравнение (7.5), откуда получим:
.
Решая его, приходим к:
.
Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) имеет вид:
.