6. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Т ригонометрическая форма комплексных чисел 

где r - модуль;   - агрумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

При умножении двух комплексных чисел тригонометрической форме их модули перемножаются, а показатели складываются.

Деление z1=r1(cosф1+jsinф1) z2=r2(cosф2+jsinф2) z1/z2= r1/ r2(cos(ф1-ф2)+jsin(ф1-ф2)).

Возведение в степень zⁿ=rⁿ(cosф1+jsinф1).

Извлечение корня z_k= ⁿ√r(cos(ф+2пk/n)+jsin(ф+2пk/n)).

6. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме. Показательная форма комплексного числа

Пусть некоторое комплексное число записано в тригонометрической форме z = r*(cos φ + isin φ), тогда в показательном виде его можно представить как  . Если приравняем оба полученных числа и сократим на r, то получим уравнение, которое называется формулой Эйлера   и показывает, что выражения   и   име­ют одну и ту же логическую сущность.

Формулы умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня записываются следующим образом :    , где к = 0, 1, 2, ..., (n - 1).

6. Понятие матрицы. Виды матрицы.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы которая представляет собой совокупность строк и столбцов. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

6. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

  Линейные операции над матрицами.

 

1.        Сложение матриц.

 

Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 

 

Пример.

   

 

2.        Умножение матрицы на число.

 

Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

 

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

 

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е.        С = А + (-1)В.

 

Пример.

. Тогда  

 

                 Перемножение матриц.

 

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

 

Определение 3.6. Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности   называется матрица С  размерности  , каждый элемент которой   определяется формулой:   Таким образом, элемент   представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

Пример.

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет   Найдем элементы матрицы С:  

Итак,