41. Локальный экстремум. Условия существования.
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Определения
Пусть
дана функция 
и 
—
внутренняя точка области определения 
Тогда
называется
точкой локального максимума функции 
если
существует проколотая окрестность 
такая,
что
называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
называется точкой абсолютного минимума, если
Значение
функции 
называют
(строгим) (локальным) максимумом или
минимумом в зависимости от ситуации.
Точки, являющиеся точками (локального)
максимума или минимума, называются
точками (локального) экстремума.
Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция
непрерывна
в 
и
существуют конечные или бесконечные
односторонние производные 
.
Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и 
является точкой локального максимума. А если
и 
то является точкой локального минимума.
Пусть функция дифференцируема
раз
в точке
и 
,
а 
.
Если
чётно
и 
,
то
-
точка локального максимума. Если
чётно
и 
,
то
-
точка локального минимума. Если
нечётно,
то экстремума нет.
Необходимые условия существования локальных экстремумов
Из леммы Ферма вытекает следующее:
Пусть
точка
является
точкой экстремума функции 
,
определенной в некоторой окрестности
точки
.
Тогда
либо производная 
не
существует, либо
.