
- •Витебск 2012-2013
- •Множества и операции над ними.
- •Факториал. Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона.
- •Свойства бинома Ньютона
- •Многочлены. Корни многочленов. Действия над многочленами. Общий вид разложения многочлена на множители. Многочлен – сумма одночленов.
- •5. Понятие графа, свойство. Способы задания графов. Маршруты, связанность. Деревья. Ориентированные формы.
- •Геометрический
- •Матрица смежности
- •Матрица инцидентности
- •Понятие комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •Геометрическая иллюстрация комплексного числа. Модуль комплексного числа.
- •Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме. Показательная форма комплексного числа
- •Понятие матрицы. Виды матрицы.
- •Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
- •Определители их свойства. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •Свойства определителей
- •Обратные матрицы. Матричный способ решения системы линейных уравнений.
- •Системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Описание метода
- •Понятие вектора на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение векторов.
- •Смешенное произведение векторов.
- •Линейное пространство и линейные операторы. Евклидово пространство.
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости.
- •Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до плоскости.
- •Угол между двумя прямыми
- •21. Эллипс: основные характеристики и изображения.
- •22. Гипербола: основные характеристики и изображения.
- •23. Окружность: основные характеристики и изображения.
- •24. Парабола: основные характеристики и изображения.
- •25. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение.
- •Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
- •26. Уравнения плоскости в пространстве.
- •27. Поверхность второго порядка
- •28. Предел числовой последовательности.
- •29. Предел функции в точке и на бесконечности. Предел функции по Коши
- •Предел на бесконечности по Коши
- •30. Первый и второй замечательные пределы.
- •31. Непрерывность функции в точке на бесконечности. Теорема о непрерывных функциях.
- •32. Асимптоты графика функции. Вертикальная
- •Горизонтальная
- •Наклонная
- •33. Понятие производной. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •Правила дифференцирования
- •34. Механический и геометрический смысл производной функции.
- •35. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной и параметрической функции.
- •36. Правило Лопиталя.
- •37. Дифференциал функции. Использование дифференциала функции приближенного вычисления. Определение дифференциала функции
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •38. Производная и дифференциал высшего порядка. Производные и дифференциалы высших порядков
- •39. Исследования функции и построение графика.
- •40. Понятие функции многих переменных. Частные и производные. Полный дифференциал.
- •41. Локальный экстремум. Условия существования.
- •Определения
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
39. Исследования функции и построение графика.
Полная схема исследования функции и построения ее графика
Общие исследование функции y = f(x).
Область определения функции. Найти ее область определения D(f) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E(f) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E(f) откладывается до нахождения экстремумов функции.)
Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.
Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента
к граничным точкам области определенияD(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида (a;+
) или (− ;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x
+ или x − соответственно, т.е. найтиlimx
f(x). Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k=limx + xf(x) и b=limx + (f(x)−x). Горизонтальны асимптоты: y = b, гдеlimx f(x)=b.
Нахождение точек пересечения графика с осями. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.
Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.
40. Понятие функции многих переменных. Частные и производные. Полный дифференциал.
В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В
явном виде частная производная
функции
определяется
следующим образом:
Следует
обратить внимание, что обозначение
следует
понимать как цельный символ,
в отличие от обычной производной функции
одной переменной
,
которую можно представить, как отношение
дифференциалов функции и аргумента.
Однако, и частную производную можно
представить как отношение дифференциалов,
но в этом случае необходимо обязательно
указывать, по какой переменной
осуществляется приращение функции:
,
где
—
частный дифференциал функции f по
переменной x. Часто непонимание факта
цельности символа
является
причиной ошибок и недоразумений, как,
например, сокращение
в
выражении
.
(подробнее см. Фихтенгольц, «Курс
дифференциального и интегрального
исчисления»).
Геометрически,
частная производная является производной
по направлению одной
из координатных осей. Частная производная
функции
в
точке
по
координате
равна
производной
по
направлению
,
где единица стоит на
-ом
месте.
Полный дифференциал
функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение
в случае, когда оно отличается от полного приращения
Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)
на величину, бесконечно малую по сравнению с