19. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.

Пусть подмножество множества действительных чисел ℝ.

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для любого справедливо неравенство .

При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) множества .

Заметим, что любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. Действительно, если одна из верхних граней этого множества, то любое число , большее является его верхней гранью. Аналогично любое ограниченное снизу множество имеет бесконечное множество нижних граней.

Так например, множество всех отрицательных вещественных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани этого множества можно взять любое неотрицательное вещественное число.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества , называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом . Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом .

Приведенное определение точной верхней (нижней) грани множества, можно сформулировать и в другой, эквивалентной форме.

Число называется точной верхней гранью (точной нижней гранью) ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования: 1) . 2) .

В этом определении требование 1) означает что число является одной из верхних (нижних) граней множества . Требование 2 означает, что если уменьшить (увеличить) число на произвольное положительное число 𝜀, то число перестает быть верхней (нижней) гранью множества .

Заметим, что у рассмотренного выше множества всех отрицательных вещественных чисел существует точная верхняя грань , причём это число не принадлежит множеству .

В общем случае числа и могут как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Например, для множества натуральных чисел точной нижней гранью будет число 1, которое принадлежит множеству натуральных чисел.

Справедлива следующая

** Теорема 2.1. Если непустое множество вещественных чисел ограничено сверху (снизу), то существует единственное число , которое является точной верхней гранью (точной нижней гранью) этого множества.

Доказательство этой теоремы можно найти в книге В. А. Ильин, А. В. Куркина «Высшая математика» гл. 1 §1 стр. 13.

Множество вещественных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если существуют вещественные числа и , такие, что для любого справедливы неравенства .

Из теоремы 2.1 следует, что у каждого непустого ограниченного множества существуют точная нижняя и точная верхняя грани.

Теорема 2.1. Если непустые, ограниченные множества и при этом , то ,

Доказательство. Оба, приведенные в теореме, неравенства доказываются одинаково. Докажем первое из них.

20. Числовые последовательности.

1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число Тогда множество вещественных чисел

называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа будем называть элементами последовательности (1), – общим элементом или членом последовательности, - его номером. Последовательность будем обозначать символом .

Рассмотрим ещё одну последовательность . Назовём последовательность суммой последовательностей (1) и (2), последовательность - разностью последовательностей (1) и (2), последовательность - произведением последовательностей (1) и (2) и, наконец, последовательность - частным последовательностей (1) и (2). Очевидно, при определении частного последовательностей (1) и (2) нужно требовать .